要比价格的统计性质好，所以通常是对收益率（价格
的差分）而不是对价格建模．在收盘价Ｐｔ＋ｎ／Ｎ基础上，
可以定义前后两笔收盘价的对数差为高频收益率，如
式８所示：
Ｒ。＝ｌｏｇ（ｐ；＋∥Ⅳ）一ｌｏｇ（ｐ州。＿１）／ｆｖ）
（８）
（３）最后，每日的“已实现”波动率（ＲＫ）可以通 过式２—４计算出，并建立ＲＶ，的时间序列，如图１、 图２所示为沪深两市的“已实现”波动率的时间序列．
周，也即１周的周期． 同样，经过分析上海综合指数的傅立叶变换的
结果，发现其计算的低频和高频的周期与深圳成分 指数非常近似．
Ｔａｂ．１
表１ 沪深两市“已实现”波动率的周期 Ｔｈｅ ｐｅｒｉｏｄｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅａｌｉｚｅｄ ｖｏｌａｔｉｌｉｔｙ ｆｏｒ Ｓｈａｎｇｈａｉ ａｎｄ Ｓｈｅｎｚｈｅｎ ｍａｒｋｅｔｓ
１９８０年，Ｍｅｒｔｏｎ注意到独立同分布随机变量在 固定时段上的方差能用此时段内收益率实现值的平 方和来估计，而且只要频率足够高，就能得到非常精 确的估计．Ｆｒｅｎｃｈ和Ｓｃｈｗｅｒｔ等¨ｏ用月内每日收益的 平方和来估计每月的方差．Ａｎｄｅｒｓｅｎ与Ｂｏｌｌｅｒｓｌｅｖ旧Ｊ， Ｈｅｓｉｅｈ＿３ ｏ，Ｔａｙｌｏｒ和ｘｕＭｌ各自用日内收益率的平方 和估计每日的收益方差．近几年来，Ａｎｄｅｒｓｅｎ与 Ｂｏｌｌｅｒｓｌｅｖ提出了利用高频数据计算波动率．他们提 出了“已实现”波动率的测量方法．即用一段时间内 收益率的平方和作为波动率的估计，这种估计方法 不同于ＡＲＣＨ类模型和ＳＶ类模型，它不依赖于模 型，不需要进行复杂的参数估计．
一～一一．。。ｌ
０
１００
２００
３００
４００
５００
６００
７００
Ｆｉｇ．１
图１ 上证综合指数“已实现”波动率分布图 Ｔｈｅ ｒｅａｌｉｚｅｄ ｖｏｌａｔｉｌｉｔｙ ｏｆ Ｓｈａｎｇｈａｉ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｉｎｄｅｘ
。
＿Ｌ ▲刖ｕ ．．Ｊ｜ＩｊＪＬ“ 。一．．上．ｋ．．．．．—上．
图２ 深圳成分指数“已实现”波动率分布图 Ｆｉｇ．２ Ｔｈｅ ｒｅａｌｉｚｅｄ ｖｏｌａｔｉｌｉｔｙ ｏｆ Ｓｈｅｎｚｈｅｎ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｉｎｄｅｘ
（４）
２ Ｆｏｕｒｉｅｒ分析的思想和方法
将时间序列髫（ｔ）看成是由不同频率的正弦波叠 加而成的，则戈（ｔ）可以表示为
ｋ
戈（ｔ）＝ 智＞（ｏｉＣＯＳ ２ｐｆｉｔ＋ｂｉｓｉｎ ２ｐｆｉｔ）＋Ｅｉ（５）
其中ｋ为常数，是周期分量的个数即主周期（基
波）及其谐波的个数；Ｚ（江ｌ，２，…，ｋ）也是常数，表
示第ｉ个周期波的频率；Ｅｉ是纯随机序列，Ｅ（Ｅｉ）＝ ０，Ｅ（Ｅ；）＝Ｄ２，令第ｉ个周期波的振幅为Ｃｉ，则Ｃｉ＝
口；＋ｂ；，通常称，（，）＝芸（ｏ；＋ｂ；）为序列的周期图．
离散傅立叶变换（ＤＦＴ）是将时域上的有限个离 散点变换到频域上去，
Ⅳ一ｌ
Ｘ（ｋ）＝＞。箭戈（ｔ）旷‘ｋ＝０，１，…，Ｎ一１（６）
Ⅳ一１
戈（ｆ）＝专∑ｘ（ｋ）ｗ地扛ｏ，１，…，Ⅳ一１（７）
其中，形＝ｅ～，Ｘ（ｋ）是一个以Ⅳ为周期的周期 序列，称为序列ｚ（ｔ）的离散傅立叶变换（Ｄｉｓｃｒｅｔｅ Ｆｏｕｒｉｅｒ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍｓ），简称ＤＦＴ．通过傅立叶变换得到 的级数称为Ｆｏｕｒｉｅｒ级数，变换后的频率和周期分别 为ｆ／＝ｋ／Ｎ，和Ｔｉ＝ｌ／ｆ，＝Ｎ／ｋ．ＩＸ（ｋ）Ｉ代表周期元素
动率与“已实现”协方差的理论解释：假设价格向量
的对数是一个特殊半鞅，那么它可以分解成一个均
值过程和一个新息过程，假如均值过程与新息过程
是独立的，且均值过程是一个事先确定的函数，那么
收益向量的条件协方差矩阵等于二次协变差过程的
条件期望，二次协变差过程又可以用收益平方和及
收益乘积和来近似．
如果对数收益率过程ｒ（ｔ＋△，△）＝Ｐ（ｔ＋△）一Ｐ （ｔ）是满足以下方程的肠过程：
可以看到届ｉ在５％的显著性水平下不同时等于 零，所以可以表明我国股市存在有显著正的“３月份 效应”和负的“１２月效应”．
３实证结果分析
实证分析显示，中国股票市场存在某种形式的 “月份效应”和“周效应”．对于正的３月效应，而不 是像其他发达国家发现的“元月效应”，一个可能的 解释是中国的传统年度是以阴历来计量的．也就是 说，不管是投资者还是企业都会把春节当作一年的 结束和下一年的开始，而我国的春节一般来说也正 是２月份．从这个角度来看，中国的“３月份效应”正 是中国特色的“元月效应”．
０
２０
４０
６０
８０
１００
１２０
１４０
１６０
１８０
图３ 深圳成分指数傅立叶变换结果
Ｆｉｇ．３
Ｔｈｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ＦＦＴ ｆｏｒ Ｓｈａｎｇｈａｉ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｉｎｄｅｘ
０
２０
４０
６０
８０
１００ １２０ １４０ １６０ １８０ ２００
图４ 上证综合指数傅立叶变换结果
ｏｆ唧ｆｏｒ Ｆｉｇ．４ Ｔｈｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ
动率这一重要参数的周期性进行分析．
关键词：“已实现”波动率；高频数据；Ｆｏｕｒｉｅｒ谱分析；ＦＦＴ
中图分类号：Ｆ８３０．９１
文献标识码：Ａ
Ｔｈｅ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｒｅａｌｉｚｅｄ ｖｏｌａｔｉｌｉｔｙ ｉｎ ｃｈｉｎａ ｓｔｏｃｋ ｍａｒｋｅｔ
ＤＯＮＧ Ｙｕｅ，ＹＡＮＧ Ｂａｏ—ｃｈｅｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ，Ｔｉａｎｊｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔｉａｎｊｉｎ ３０００７２，Ｃｈｉｎａ）
摘要：论述证券市场“已实现”波动率的理论，利用深圳成分指数和上海综合指数的５ ｍｉｎ高频数据，对沪深两市
的波动周期做了实证分析，通过Ｆｏｕｒｉｅｒ谱分析，比较了沪深两市的波动周期，揭示了我国股市的周期波动性特征．目
前，我国股票市场的周期性研究多集中在市场指数和收益率的低频数据周期分析，本文的特点是利用高频数据对波
采集的数据，收盘价就是该时间间隔内最后一笔交易
的交易价格，如果在该时间间隔内没有交易发生，则
采用上一时间间隔的收盘价．
收盘价Ｐｔ＋ｎ／Ｎ下标是时间变量，在这里单位为日
（ｄａｙ，用ｔ表示）．Ⅳ是在某一抽样频率（每５ ｒａｉｎ）下
的一天中总的样本个数，凡是日内时段序列号．
（２）高频收益率Ｒ。∥Ⅳ，因为收益率的统计性质
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｕｓｉｎｇ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ａｎａｌｙｓｉｓ，ｗｅ ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ ｒｅａｌｉｚｅｄ ｖｏｌａｔｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｗｏ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｓｔｏｃｋ ｍａｒｋｅｔ ｉｎｄｉｃｅｓ ｉｎ Ｃｈｉｎａ． Ｔｈｅ ｒｅａｌｉｚｅｄ ｖｏｌａｔｉｌｉｔｙ ａｒｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙ ｏｆ ａｎｄｅｒｓｅｎ ａｎｄ ｂｏｌｌｅｒｓｌｅｖ．Ｗｅ ｆｉｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｗｏ ｓｅｒｉｅｓ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｓｉｍｉｌａｒ ｃｈａｒａｃｔｅｒｓ ｏｆ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｒｅａｌｉｚｅｄ ｖｏｌａｔｉｌｉｔｙ；ｈｉｇｈ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｄａｔｅ；Ｆｏｕｒｉｅｒ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ａｎａｌｙｓｉｓ；ＦＦＴ
４ 结论
本文利用深圳成分指数和上海综合指数的５ ｒａｉｎ 高频数据，建立了“已实现”波动率的时间序列，并对 “已实现”波动率的理论基础进行了阐述．通过比较 深圳成分指数和上海综合指数的傅立叶变换结果，发 现了沪深两市具有极其相似的波动周期特征，这样的 结果和金融理论是一致的，因为沪深两个市场是相互
联系，相互影响的，它们具有相似的市场微观结构．并 且，两市共同受到我国政府行为的周期性影响和上市 公司各项信息的披露的周期性的影响．由此可见，沪 深两市的波动周期规律具有协同一致性．
天津理工大学学报
第２２卷第６期
ｎ个时间段，则有
…ｎ一ｌ∞ｉｒ－ａ萋巾＋音几 ，几告）２叶ＪＪ．。和ｓ
（２）
一
通常，Ｉ仃２。ｄｓ称为积分波动率，简记Ⅳ，当△
Ｊ０
取１时：
广ｌ
，Ｅ＝ｆ盯Ｉ。＋。ｄｓ
（３）
Ｊ０
随着采样频率的升高，罗ｒ（ｆ＋上，上）２收敛于
ｊｊ
，‘
，‘
积分波动，是波动率的一种全新的度量方法．在
２）分析“已实现”波动率的周期性：实施操作时， 对时间序列石（ｔ）进行快速傅立叶变换（ＦＦｒ），得到在 频域上的频谱图．如图３、图４所示，图中每一点的横 坐标代表采样数ｋ，用来描述周期和频率；纵坐标代
万方数据
２００６年１２月
董越，等：中国股市“已实现”波动率的周期性研究
·２５·
Ｊ．ｋ山 ．－．＾Ｊ
ＡＲＣＨ类模型和ＳＶ类模型中，是利用条件波动率在ｔ
时刻的信息集，去度量ｔ＋１时刻的波动的预测值．与
它们不同，这里是在ｔ时刻的信息集的基础上度量ｔ
时刻的波动率，基于此，它通常称为“已实现”波动
率，简记ＲＶ．不失一般性，当△取１时：
ＲＲＫＫ： ２之‘ｙ—７Ｊ（ｒ￡（￡一一＋１＋ｎＪ，’，‘，音上，‘））２２
ｐ
Ｐ
ｒ（ｆ＋Ａ，Ａ）＝Ｉ肌＋。ｄｓ＋ｆ ｏｒ。ｄＷ（ｓ） （１）
其中，ｔ∈［０，Ｔ］，且ｔ，Ｔ都是整数．Ｗ（ｓ）是维纳 过程．另外，把所有时刻ｔ到时刻ｔ＋１时段都等分成
收稿日期：２００５－０６－１３． 基金项目：教育部中芬合作项目． 第一作者：董越（１９７７～ ），男，硕士研究生
万方数据
·２４·
分析深圳成分指数的周期统计数据前４个高强 度点所对应的“已实现”波动率周期分别为周期１：
６５ ｄ，周期２：２２ ｄ，周期３：１７ ｄ，周期４：５ ｄ． （１）按每周５ ｄ计算，６５ ｄ是一个较大的周期，
可以近似看作是１３周，即为１个季度． （２）按每周５ ｄ计算，周期２２ ｄ，可以近似看做４