数学知识的综合运用
学生要能灵活地应用数学知识解决问题，最基本的一点是要牢固地掌握数学的基础知识。

俗话说万丈高楼平地起，美丽的高楼大厦必然有坚实的基础，地基不牢，再高明的建筑师也只能望楼兴叹！学生知识的掌握关键在于平时的积累与应用，在学习中应注意加强知识间的联系，让学生学以致用。

不然的话，学生就会感到数学知识零散、杂乱。

要让学生在学习过程中逐步形成知识网络，做到融汇绝贯通，举一反三，体验数学学习的乐趣。

不少学生很想学好数学，有学习数学的激情，但缺乏学好数学的方法。

总是今天学了明天忘，知识在大脑中存留的时间非常短暂，这怎么能学好呢？这也说明他没有学好。

要让学生在平时的练习中深切地感受到昨天所学的知识是今天学习的基础，让他们明确今天我们在学习及解决问题中用到了哪些以往学习的知识；同样的道理，今天的学习是明天的基础，在将来的学习中必将用到现在的知识。

因此所学知识不能出现盲点，不能有断层，必须行成知识体系，建立网络结构，才能进行发散思维。

下面举一个初三复习试题預以说明。

已知抛物线c bx a y x ++=2经过()01，-A 、()03，B 、
()30，C 三点，直线
是抛物线的对称轴 （1）求抛物线的函 数关系式。

（2）设点P 是直线 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标。

（3）在直线 上是否 存在点M ，使△MAC 为等 腰三角形。

若存在，直接写出所
有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

分析与解答：（1）求抛物线的函数关系式。

这个问题绝大多数学生都能解决，不过询问不同的学生他们的思路却有所不同：
①直接将()01，-A 、()03，B 、()30，C 三点坐标代入
c bx a y x ++=2得一个三元一次方程组，解这个三元一次方
程组得到a 、b 、c 的值，从而求出抛物线的函数关系式为
3
22++-=x y x
②根据()30，C 可知c = 3, 再把()01，-A 、()03，B 代入
32++=bx a y x 得到一个二元一次方程组，解这个二元一次
方程组得到a 、b 的值，同样可求出抛物线的函数关系式； ③由于()01，-A 、()03，B 两点是抛物线与x 轴的交点，因而可重设抛物线的解析式为()()x x x x a y 21--=，即是
()()31-+=x x a y ，把()30，C 代入，就求出a = -1，则抛物
线的函数关系式为()()31--+=x x y ，即322++-=x y x 。

可以看出，同一个问题，不同的人从不同的角度去观察、思考，会得出不一样的解决方案。

因此这就要求同学们在平时做练习的过程中，独立思考，充分发挥自己的主观能动性，一定要相信自己，问题总是有办法解决的。

（2）研究△PAC 的周长最小。

△PAC 的周长等于三边长度之和，无论P 点在直线 的何处，AC 的长度都是固定不变的。

这样一来△PAC 的周长最小，实质就是求PA + PC 之值最小。

其实同学们已在八年级做过这样的题目：图中直线表示一条小河，牧童在A 处放牛，牧童从A 处将牛牵到河边饮水后再回到B 处的家中。

试问在 何处饮水，所走路程最短？ 结合这个问题，我们自然就会想到，本题中的关键是作
出一个点关于直线 的对称
点。

比如作出C 点关于直线 的称点C '，由
322++-=x y x = ()4-12+-x 知，抛物线的对称轴 的直线
方程为 x = 1 ，则 C '（2，3），连接A 、C '与 的交点P 即为所求的点。

凭直观可见点P 的坐标为p （1，2）。

怎样从理论上来解答呢? 我们看Rt △AD C '，会发现它是一个等腰直角三角形，则∠C 'A D = 45°，可见直线C A '与一、三象限的角平分线y = x 平行，设A C '的解析式为y = x + b ，利用()01，-A ，可求出b = 1, 从而得出p (1 , 2 )。

这个小问题的解决，充分利用了轴对称以及一次函数等知识，突出地体现了数学知识之间的密切联系。

（3）△MAC 为等腰三角形的研究要分类进行，主要是讨论谁为等腰三角形的腰谁为底边的问题。

①以∠A 为等腰三角形的顶角，即M A AC 1=，在Rt △AOC 中可得10=AC ,在Rt △M M A 13∆ 中（M 3是抛物线的对称轴 与x 轴的交点）有
101==AC A M ,23=M A ,可求出 613=M M ，因此
M 3的坐标为
（1，- 6 ）；这时M 1于x 轴对称的点 M 2为
()61，，M
2与
A 、C 同样形成一个等腰三角形。

②以∠C 为等腰三角形的顶角时，显然M CA 3∆是一个等腰三角形，M 3 的坐标为（1，0）；若CA = CE ,此时由于有CA = CE = M C 3,那么A 、M 3、E ，三点在以C 为圆心的
••l
B
A
同一个圆上，再加上9003=∠E A M ，AE 必为⊙C 的直径，即A 、C 、E 三点在同一直线上不构成三角形。

③以AC 为等腰三角形的底边时，作出AC 边的垂直平分线与 的交点M 4为所求的第四个点。

此点坐标可利用图形直接写出，也可设M 4（1，y)，由 C A M M 44=，利用坐标表示线段的长度可得：
()()31112
222-++=+y y 解得y =
1，那么 M 4的坐标为（1，1）。

这个小问题的解决是将几何知识与代数知识融为一体，几何引路，代数解答，相互辉映，从而使问题得以顺利解决。

不难看出，复杂问题其实是由几个简单问题组合而成的。

要想能够解决复杂的数学问题，数学基础知识不容忽视。

这就要求学生不仅要牢固地掌握数学基础知识，而且要能灵活运用，多比较，常归纳是很有必要的。