数学分析下册期末考试卷 一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分） 1、已知xy u e =，则u x ∂=∂ ，u y ∂=∂ ，du = 。
2、设:L 224x y +=，则L xdy ydx -=⎰Ñ 。
3、设 :L 229x y +=，则曲线积分ds ⎰22L （x +y ）= 。
4、改变累次积分b a dy f dx ⎰⎰b y （x ，y ）的次序为 。
5、设2D y ax +≤2：x ，则 D dxdy ⎰⎰= 。
二、判断题（正确的打“O ”;错误的打“×”；每题3分，共15分） 1、若函数f （x ，y
）
在区域D 上连续，则函数f （x ，y ）在D 上的二重积分必存
在。
( )
2、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ） 可微，则函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）连续。
( )
3、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）存在二阶偏导数00(,)xy f x y 和00(,)yx f x y ，则 必有 0000(,)(,)xy yx f x y f x y =。
( )
4、第二型曲线积分与所沿的曲线L （A ，B ）的方向有关。
( )
5、若函数f （x ，y ）在点00(,)x y 连续，则函数f （x ，y ） 在点00(,)x y 必存在一阶偏导数 。
( )
三、计算题 （ 每小题9分，共45分）
1、用格林公式计算曲线积分
22()L
I x y dx xy dy =-+⎰Ñ ， 其中 L 是圆周222x y a +=
2、计算三重积分
222()V x
y z dxdydz ++⎰⎰⎰，
其中2222:V x y z a ++≤。
3、计算第一型曲面积分
S
I zdS =⎰⎰ ，
其中S 是上半球面2222x y z R ++=（0z ≥）。
4、计算第二型曲面积分
S
I xdydz ydzdx zdxdy =++⎰⎰Ò，
其中S 是长方体[][][]0,10,20,3V =⨯⨯的外表面。
5、计算四个平面1,0,0,0x y z x y z ++====所围成的四面体的体积。
四、证明题(每小题7分，共14分)
1、验证曲线积分
2()xy xy xy L
e xye dx x ye dy ++⎰，
与路线无关，并求被积表达式的一个原函数(,)u x y 。
2、证明：若函数f （x ，y ）
在有界闭区域D 上连续，则存在(,),D ξη∈ 使得
(,)(,)D D f x y d f S σξη=⋅⎰⎰ ，这里D S 是区域D 的面积。
参考答案及评分标准
一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分）
1、xy ye ；xy xe ；xy xy ye dx xe dy +。
2、8π；
3、54π ；
4、(,)b X a a dx f x y dy ⎰⎰ ；
5、24a π。
二、判断题（正确的打“O ”;错误的打“×”；每题3分，共15分）
1、○；
2、○；
3、×；
4、○ ；
5、× .
三、计算题 （ 每小题9分，共45分）
1、解：由格林公式，有
22222:()D x y a I y x dxdy +≤=
+⎰⎰5分
34:0,022D r a r drd a θππθ≤≤≤≤=
=⎰⎰9分
2、解：作球面坐标变换：cos sin ,sin sin ,cos x r y r z r θϕθϕϕ===， 则2(,,)sin J r r θϕϕ= 且
:0,0,02V V r a ϕπθπ'⇒≤≤≤≤≤≤4分
2
2222224005()6sin 8495
V
V a
r x y z dxdydz
r r drd d d d r dr a ππϕθθϕϕπ'
∴++=⋅--------------------=------------------=--------------------------⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰分
分
分
3
、解：2S Z R =∈≤Q 22：x ，y ）D ：x +y
.
dS =
= 5分
S D I zdS ∴==⎰⎰8分
=3D
dxdy R π=⎰⎰ 9分
4、解：用高斯公式，得
3I dxdydz
=⎰⎰⎰V
6分 3dx dy dz ⎰⎰⎰123000
8分 =189分
解5、设:01,01D y x x ≤≤-≤≤，则所围成的四面体的体积
(1)D
V x y dxdy =--⎰⎰4分
1100(1)x dx x y dy ---⎰⎰6分 = 16
9分 四、证明题(每小题7分，共14分)
1、证明：2,xy xy P e xye Q x =+=xy ，e 2xy P Q xe y x
∂∂==∂∂Q 2xy +x ye ，，∈2（x ，y ）R . ∴曲线积分与路线无关。
4分
取000x y ==，则
y
u P dx Q dy =+⎰⎰x 0（x ，y ，z ）（x ，0）（x ，y ）
200
y
x xy dx x e dy +⎰⎰7分
xy xe 9分
2、证明：由 最值定理，函数f （x ，y ）在有界闭区域D 上存在最大值M 和最小值m ，且∀∈（x ，y ）
D ，有
m f M ≤≤（x ，y ）， 上式各端在D 上积分，得 D D D
mS f d MS σ≤≤⎰⎰（x ，y ），
或 f d m M σ≤≤⎰⎰D D （x ，y ）S ， 其中D S 为D 的面积。
根据介质性定理，存在D ξη∈（，），使得 f d f f σξησξη=
=⋅⎰⎰⎰⎰D D D D （x ，y ）（，），即f （x ，y ）d （，）S S .。