数学试卷 第1页（共15页）
数学试卷 第2页（共15页）
数学试卷 第3页（共15页）
绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学（文科）
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，共6页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
注意事项：
必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 第Ⅰ卷共10小题.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．设集合{|12}A x x =-<<，集合{|13}B x x =<<，则A B = （ ） A ．{|13}x x -<<
B ．{|11}x x -<<
C ．{|12}x x <<
D ．{|23}x x << 2．设向量a ()2,4=与向量b (),6x =共线，则实数x =
（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是
（ ）
A ．抽签法
B ．系统抽样法
C ．分层抽样法
D ．随机数法
4．设,a b 为正实数，则“1a b >>”是“22log log 0a b >>”的
（ ）
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
5．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是
（ ）
A ．sin(2)2
π
y x =+ B ．π
cos(2)2
y x =+ C ．sin 2cos2y x x =+
D ．sin cos y x x =+
6．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为
（ ）
A
．2
-
B
．
2
C ．12-
D ．
12
7．过双曲线2
213
y
x -
=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线 的两条渐近线于A ，B 两点，则||=AB
（ ） A
．3
B
．
C ．6
D
．
8．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃） 满足函数关系e
kx b
y +=（e 2.718=…为自然对数的底数，k ，b
为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保 鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是
（ ） A ．16小时 B ．20小时 C ．24小时
D ．28小时
9．设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +⎧⎪
+⎨⎪+⎩
≤，
≤，≥，则xy 的最大值为
（ ）
A ．25
2
B ．492
C ．12
D ．16
10．设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，
与圆222
(5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 （ ）
A ．(1,3)
B ．(1,4)
C ．(2,3)
D ．(2,4)
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
注意事项:
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.
第Ⅱ卷共11小题.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.
11．设i 是虚数单位，则复数1
i i
-＝__________. 12．2lg0.01log 16+的值是___________.
13．已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值是___________.
14．在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，
俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，
11B C 的中点，则三棱锥1P A MN -的体积是__________.
15．已知函数()2x f x =，2
()g x x ax =+（其中a ∈R ）.对于不相等的实数1x ，2x ，设
1212()()f x f x m x x -=
-，1212
()()
g x g x n x x -=-，现有如下命题：
①对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >；
②对于任意的a 及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >； ③对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =； ④对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-. 其中的真命题有__________（写出所有真命题的序号）.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）
设数列{}n a (1,2,3,)n =⋅⋅⋅的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数
列.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列1
{
}n
a 的前n 项和为n T ，求n T .
17．（本小题满分12分）
一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5.乘客1P ，2P ，3P ，4P ，5P 的-------在
--------------------此--------------------卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效
----------------
姓名________________ 准考证号_____________
数学试卷 第4页（共15页）
数学试卷 第5页（共15页） 数学试卷 第6页（共15页）
座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车.乘客1P 因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位.
（Ⅰ）若乘客1P 坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法.下表给
；
（Ⅱ）若乘客1P 坐到了2号座位，其他乘客按规则就座，求乘客
5P 坐到5号座位的概率.
18．（本小题满分12分）
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.
（Ⅰ）请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； （Ⅱ）判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论. （Ⅲ）证明：直线DF ⊥平面BEG
19．（本小题满分12分）
已知A ，B ，C 为ABC △的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程2
10x p +-+=
（p ∈R ）的两个实根. （Ⅰ）求C 的大小.
（Ⅱ）若3AB =，AC =p 的值.
20．（本小题满分13分）
如图，椭圆2222:+1(0)x y E a b a b =>
>
，点P (0,1)在短轴CD 上，且
1PC PD =-.
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点.是否存在常数λ，使 OB PA PB λ+为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
21．（本小题满分14分）
已知函数22
()2ln 2f x x x x ax a =-+-+，其中0a ＞.
（Ⅰ）设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；
（Ⅱ）证明：存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥恒成立，且()0f x =在区间(1,)+∞内有唯一解.
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数学试卷 第9页（共15页）
2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文科）
答案解析
第Ⅰ卷
(13)A B =-，【提示】直接利用并集求解法则求解即可. :6x ，解得
1)2x x y ⎛≤ ⎝2故最大值为25
.2
【提示】画出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可. 第Ⅱ卷
32424
【提示】判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥。