2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{|32,}A x x n n N ==+∈, {6,8,12,14}B =, 则集合A B ⋂中元素的个数为 （A ）5（B ）4（C ）3（D ）2（2）已知点A （0,1），B （3,2），向量AC =（-4，-3），则向量BC =（A ）（-7，-4） （B ）（7,4） （C ）（-1,4） （D ）（1，4）（3）已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（A ）2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A ）103 （B ）15 （C ）110 （D ）120（5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：28y x =的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个焦点，则|AB|=（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛 （7）已知是公差为1的等差数列，=4，则=（A ） （B ） （C ）10 （D ）12（8）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（A ）13(,)()44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2)()44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,)()44k k k Z -+∈（D ）13(2,2)()44k k k Z -+∈（9）执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（10）已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩，且()3f a =-，则(6)f a -= （A ）-74 （B ）-54 （C ）-34 （D ）-14（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =（A ）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8（12）设函数()y f x =的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =第Ⅱ卷二.填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）在数列{}n a 中， 12a =, 12n n a a +=, n S 为{}n a 的前n 项和。

若126n S =，则n =________.（14）已知函数3()1f x ax x =++的图像在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，则a = .（15）,x y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则3Z x y =+的最大值为________.（16）已知F 是双曲线C ：2218y x -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，A （0,66）.当△APF 周长最小时，该三角形的面积为_____________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （Ⅰ）若a b =，求cos B ； （Ⅱ）设90B =，且2a =，求△ABC 的面积。

（18）（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD. （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE ⊥EC ，三棱锥E —ACD 的体积为36，求该三棱锥的侧面积。

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

x y w81i =∑（x 1-x ）281i =∑（w 1-w ）281i =∑（x 1-x ）(y-y )81i =∑（w 1-w ）(y-y ) 46.6 5636.8 289.81.61469108.8表中w 1 =x 1, ，w =1881i w =∑1（I ）根据散点图判断，y a bx =+与y c d x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-。

根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（1）年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （2）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u 1 v 1）,（u 2 v 2）…….. （u n v n ）,其回归线v=αβ+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：已知过点A(0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C: 22(2)(3)1x y -+-= 交于M,N 两点. （1） 求k 的取值范围；（2） 若OM ·ON =12，其中0为坐标原点，求︱MN ︱.（21）（本小题满分12分） 设函数2()ln xf x ea x =-。

（Ⅰ）讨论()f x 的导函数'()f x 零点的个数；（Ⅱ）证明：当0a >时，2()2lnf x a a a≥+。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

作答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E 。

（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； （Ⅱ）若CA=3CE ，求∠ACB 的大小。

（23）（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C :x=2-,圆2C ：22(1)(2)1x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

（1）求12,C C 的极坐标方程。

（2）若直线3C 的极坐标为θ=4π（ρ∈R ）,设2C 与3C 的交点为M ，N,求△C 2MN 的面积.（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1|2||f x x x a =+--，0a >. （1） 当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2） 若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.答案及评分标准一、选择题：DACCBB BDCABC二、填空题： 13.6 14.1 15.4 16.三、解答题（17）解：（1）由2sin 2sin sin B A C =得22b ac = 又a b = 故2a b c == ∴ 2221cos 24a cb B ac +-==（2）由90B =得222b a c =+，故222a c ac +=，又a =故c = 112S ac ==（18）解：（1） 四边形ABCD 为菱形，∴ AC BD ⊥ 又BE ⊥平面ABCD ，∴ AC BE ⊥ ∴ AC ⊥平面BDE又AC ⊂平面AEC , 平面AEC ⊥平面BED(2) 设AB x =，则2AG GC x ==, 12GB GD x ==, AE EC ⊥ ∴2EG x =,2BE x =, 故31132243E ACD V AC GD BE x -=⨯⋅⋅==，解得2x =∴ AE EC ED === 所求侧面积为3+（19）解：（1）选y c =+（2）68d =，56368 6.8100.6c =-⨯=，回归方程为100.6y =+（3）1. 49x =时，576.6y =，66.32z =2. 0.2(100.620.12z x x =+-=-+，13.66.82==，即46.24x =时，z 取得最大值。

故宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。

（20）解：（1）直线方程为：1y kx =+1<k << （2）设M 11(,)x y ，N 22(,)x y ，将1y kx =+代入方程22(2)(3)1x y -+-=得22(1)4(1)70k x k x +-++=，1224(1)1k x x k ++=+，12271x x k =+ 21212121224(1)(1)()18121k k OM ON x x y y k x x k x x k+⋅=+=++++=+=+，解得1k = 直线方程为：1y x =+，||2MN =（21）解：（1）定义域：(0,)+∞ '2()2xa f x ex=-0a ≤时，'()0f x >, 没有零点； 0a >时，函数22xy e =与a y x=的图象有且只有一个交点，'()f x 存在唯一零点 （2）由（1）知，0a >时，'()f x 存在唯一零点，记为0x ，则'0()0f x =； 0(0,)x x ∈时，'()0f x <，0(,)x x ∈+∞时，'()0f x >故()f x 在0(0,)x 单调减，在0(,)x +∞单调增，02min 00()()ln x f x f x ea x ==-由'0()0f x =，即02020x a e x -=得02022x a e x =， 0002ln ln ln 222x a ax x e ==- min 0022()2ln 2ln 2a f x ax a a a x a a =++≥+， ∴ 0a >时，2()2ln f x a a a≥+。