奥林匹克数学竞赛试题（几何部分）Mathematics Olympic test
(geometric part)
1.已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=40°，∠C=50°，点E,F,M,N
分别为四条边的中点，求证：BC=EF+MN.【简单】
2.已知在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P为平
行四边形ABCD外一点，且∠APC=∠BPD=90°，求证：平行四边形ABCD为矩形.【简单】
3.已知在三角形ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，P为BC上一点，PE⊥AB 于E，PF⊥AC于F.求证：PE+PF=CD.【简单】
4.已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD⊥AB，AH⊥FH，EF⊥AB，求证：EF=CD+FH.【简单】
5.已知三角形ABC和三角形BDE都是等腰直角三角形，连结AD，延长CE交AD与F,求证：CF⊥AD.【简单】
6.已知三角形ABC和三角形BDE都是正三角形，连结AD交BE于F，连结CE交AB于G，连结FG，求证：FG∥CD.【简单】
7.已知三角形ABC为正三角形，内取一点P，向三边作垂线，交AB 于D，BC于E,AC于F，求证：PD+PE+PF=三角形的高.【简单】
8.已知三角形ABC为正三角形，AD为高，取三角形外一点P，向三边（或边的延长线）作垂线，交AB的延长线AE于M，交AC的延长线AF于N，交BC于Q，求证：PM+PN-PQ=AD.【中等】
9.已知在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于O，DE平分∠ADC交AC 于F，若∠BDE=15°，求∠COE的度数.【中等】
10.已知三角形ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AD⊥BC，AE平分∠CAD，BF平分∠ABC，交AD于G，交AE于H，连结EG,求证：EG∥AC.【中等】
11.已知三角形ABC和三角形BDE都是正三角形，连结AE,CD,取AE 的中点N，取CD的中点M，连结BM,BN,MN.求证：三角形BMN是等边三角形.【中等】
12.已知在正方形ABCD中，作对角线AC的平行线EG，作BC=CH，连结BE，延长HG交BE于F，连结CF，求证：BC=CF.【中等】
13.已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=5，将腰CD绕点D 逆时针旋转90°至DE，连结AE，求三角形ADE的面积.【中等】
14.已知在任意四边形ABCD中，AB=CD，P,Q,R分别为AD,BC,BD的中点，∠ABD=25°，∠BDC=65°，求∠PQR的度数.【中等】
15.已知在梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB的中点，求证：S三角形CDE=S三角形ADE+S三角形BCE.【较难】
16.已知矩形ABCD，在CD的延长线上取一点E，在BC的延长线上取一点F，使得∠DAE=∠DAF,AF和CD交于G,求证：S矩形ABCD=S三角形AEF.【较难】
17.已知在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD=AE，AF⊥BE交BC于F，过F作FG⊥CD交BE的延长线于G，求证：BG=AF+FG. 【很难】【提示：过C点作AC的垂线，延长AF，交垂线于H.】
18.已知在正九边形ABCDEFGHI中，连结AE，AE=1,求AH+AI 的长.【很难】【提示：延长AH使HK=HG，连结KG.】
19.已知正方形ABCD内有一点P，且PB：PC：PD=3：2：1，求证：∠CPD=135°.【超难】【提示：过C作PC的垂线CP’，使CP=CP’.】
20.已知在任意四边形ABCD中，点E,F分别将AD,BC分成m：n两部
分，AF和BE交于P，CE和DF交于Q，求证：S四边形EPFQ=S三角形CDQ+S三角形ABP.【超难】
光的色散习题（含答案）
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一、单选题(本大题共7小题，共14.0分)
1. 宾馆的卫生间里一般都安装自动烘手机，我们只需把手伸到烘手机的下方，烘手机就会启动工作．这是利用人体能辐射出哪种射线的特点（）
A. 紫外线
B. 可见光
C. 红外线
D. 以上都不是
2. 下列不属于三原色的色光是（）
A. 红光
B. 黄光
C. 蓝光
D. 绿光
3. 在下列各组不同色光中，三原色光为（）
A. 红、黄、蓝
B. 红、绿、蓝
C. 红、黄、绿
D. 黄、绿、蓝
4. 属于光的三原色的是（）
A. 白光
B. 紫光
C. 黄光
D. 红光
5. 以下各种单色光中，属于三原色光之一的是（）
A. 绿光
B. 黄光
C. 橙光
D. 紫光
6. 如图所示现象中，属光的色散现象是（）
A.
放大镜把字放大 B.
钢勺在水面“折断” C.
喷泉上方出现彩色光带 D.
景物在水中形成“倒影”
7. 下列各种单色光中，不属于三原色光之一的是（）
A. 黄光
B. 红光
C. 蓝光
D. 绿光
二、多选题(本大题共1小题，共3.0分)
8. 如图所示的现象与光的色散有关的是（）
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