1-5 1-5（30 分） 1. 幂级数 ∑ ( ) 的收敛半径 R =
n n =0 ∞
x 3
3
= y 3 x − 3 x 由 A ( 0， 1 2. L 为 0 ) 到 B (1, 0 ) 对应的一段曲线，则 xdy − ydx =
2
∫
L
2 = 3．若 x
∑ an cos nx ( −π ≤ x < π ) ，则 x 2 的 Fourier 系数 a2 =
= a 2. L 为平面曲线 x + y
2 2
2
2 ( a > 0 ) ,计算曲线积分 ∫ L ( x + y )ds
解：
∫
L
2 ( x + y 2 )ds = ∫ y ds = ∫ L
1 2 ( x + y 2 )ds =πa 3 L 2
3．解微分方程 xy′+y = 1 .
y C 解： =
∫∫ ( x
Σ
2
y + 2 x − z ) cos α + ( y +z 2 ) cos β − 2 xyz cos γ dS =
∞ n ∞ n n
2π
1 幂级数 ∑ an ( x − 1) 在 x = 4 条件收敛，则 ∑ ( −1) (1 + 2 ) an
n =1 n =1
(
)A
（A）绝对收敛 2 以下正确的是 (
1 +1 x
4 1 1 1 4 ． 将 函 数 f ( x) = 2 展 为 x 的 幂 级 数 . 解 ： f ( x) = = − − x + 2x − 3 1− x 3 1+ x 3
∞ ∞ n ∞ n 1 n +1 1 n 1 x x = − − − = − 1 x n ( ) ∑ ∑ ( −1) ∑ n +1 n +1 3 3 n 0 = = n 0= n 0
且 e − x 不是该方程 , 3 x 为 n 阶常系数微分方程 y (n) + a1 y (n −1) + + an −1 y '+ an y = 0 的三个解，
的解，则下列结论中成立的是 (
)B
5, a1 = 3, a2 = 0, a3 = − 4, a4 = a5 = 0 (B) n =
(D)
为 球 面D7.源自2 空 间 曲 面 Σ 的 方 程 为 z 2 − 2 xz − x 2 − y= 0 ( 0 ≤ z ≤ 2x +1 ) ， 计 算 曲 面 积 分
I = ∫∫
Σ
(z
2
− x2 − y 2 − 2z ) z − x z 2 x2 + y 2 + 2 z 2
dS 1+z x '2 +z y '2 dxdy = ∫∫ 2 ( x − 1) dxdy = 0
L
L OA BO
1
2
y + 2 xf ( y )] dy ≥ π + 1
I 证： =
∫
−
BO
∫
− ∫=
OA
∫∫ 2 xy + 2 f ( y ) − f ( x ) + f ( x ) dxdy
D

1

1 1 1 4 + + xy f x f y π +1 = + + ( ) ( ) dxdy ≥ 2 ∫∫ ( xy + 1)dxdy = ∫∫ 2 D f ( x) f ( y) D
D
解： I =
∫∫
Σ
(z
2
− x2 − y 2 − 2z ) z − x z 2x + y + 2z
2 2 2
8. L 为圆周 x +y = 2 位于第一象限的一段且为逆时针方向， f ( x ) 为 上的正值连续函数， 证明：
2 2
I =
∫ y [ f ( x ) − f ( x ) ] dx + [ x
∞ ∞
(B) 发散
(C) 条件收敛
(D) 不确定
)C
∞ n =1 n =1
（A） ∑ an 收敛且 ∑ bn 收敛，则 ∑ an bn 收敛 (B)
n =1 ∞ ∞ ∞
∑ an 收敛且 ∑ bn 发散，则 ∑ anbn 发散
n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
(C)
∑ an 收敛且 ∑ bn 绝对收敛，则 ∑ anbn 绝对收敛
n =0
∞
1

4. r = xi + y j + zk ， r = r =





x 2 + y 2 + z 2 ，函数 f (r ) 满足 div[ f (r )r ] = 0 ， f (r ) =
C r3
5 ． 曲 面 Σ 为 z=
1 − x 2 − y 2 ， cos α , cos β , cos γ 为 Σ 上 侧 法 向 量 的 方 向 余 弦 ， 则
) .D
(A) C1 y1 + C2 y2 + y3 + y1 是解，其中 C1 +C2 = 1
(B) C1 y1 + C2 y2 − (C1 + C2 ) y3 是通解
(C) C1 y1 + C2 y2 + (1 − C1 − C2 ) y3 是通解. 4 已知 e , xe
x −2 x
(D) C1 y1 + C2 y2 + y3 − y1 是解，其中 C1 +C2 = 1
3 4 （A） )B ∫ x y ds L
分值不为 0 的是 (
(B)
∫x
L
3
y 4 dy
(C)
∫∫ x
Σ
3
y 4 dS
(D)
∫∫ x
Σ
3
y 4 dxdy
1-4(10 分), 5-6(9 分), 7-8(6 分)
1. 判级数
∑
n ln n 的敛散性。 解：比值或根值或比较，收敛。 n n=2 2
∞
6, a1 = 4, a2 = 3, a3 = a4 = −4, a5 = a6 = 0 （A） n = n 4, = a1 1, = a2 -3, a3 = = a4 0 (C) =
5．曲面 Σ 为 z
n= 3, a1 = −1, a2 = a3 = 0
= x 2 + y 2 ( 0 ≤ z ≤ 1) 的上侧，曲线 L 为 y = x 2 由 A ( −1, 0 ) 到 B (1, 0 ) 对应的曲线，则下列积
n =1 n =1 n =1
(D)
则 ∑ an bn 条 ∑ an 条件收敛且 ∑ bn 绝对收敛，
n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
件收敛 3 .函数 y1 ( x), y2 ( x), y3 ( x) 是非齐次方程 y′′ + p ( x) y′ + q ( x) y = f ( x) 的三个不同的解，C1 , C2 是任意常数， 则(
x <1
2x
5．求微分方程 y ''' 4 y ' 24e 的通解。 解：y C1 C2 e
2x
C3e2 x 3xe 2 x
6.
x 2 y 2 z 2 a 2 z 0, x 2 y 2 ax ，a 0 的 上 侧 ， 计 算 曲 面 积 分 z I= ∫∫ 2 zdydz + x 2 zdzdx + 3adxdy n Σ y x y 解：I= 2 z dydz x 2 z dzdx 3a 1dxdy 2 x x 2 y 3a dxdy z z D D O x 3 2 x 3a dxdy a