一．选择与填空题（每小题3分, 共18分）
1．)(x f 在0x 处可微是)(x f 在0x 处连续的（ ）条件.
（A ）必要非充分； （B ）充分非必要； （C ）充分必要； （D ）无关条件.
2．
① 2sin 1a
a x dx x -⎛+= +⎝⎰___________ ②设32a i j k =--，2
b i j k =+-，数量积a b = ，向量积2a b ⨯= ．
3．下列反常积分中收敛的是（ ）.
A
．1+∞
⎰； B ．1
2016
01dx x ⎰； C ．dx x ⎰101； D ．201611dx x +∞⎰. 4．比较积分值的大小： 1
20x dx ⎰ 130
x dx ⎰;（注填：），=,<). 5. 曲线222016410x y z ⎧+=⎨=⎩
分别绕x 轴及y 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程分别 为 和 ．
6.
设函数()ln f x x
=，则()f x 的可去间断点为（ ）． （A ）仅有一点0x =； （B ）仅有一点1x =-；
（C ）有两点0x =及1x =-； （D ）有三点0x =，1x =及1x =-．
二．计算题（每小题6分，共60分）
1. ①求极限0tan sin lim arcsin ln(1)
x x x x x x →-⋅⋅+. ②11lim ln 1x x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭
． ③011lim 1ln(1)x x e x →⎛⎫- ⎪-+⎝
⎭ 2. ①讨论函数1ln 2+=x y 的单调性，极值点，及其图形的凹凸性与拐点.
②求曲线)
(sin 12-=
x x x y 的水平和垂直渐近线
③求曲线1
22
-=x x y 的渐近线 3．设ln 2016cos 2sin 2016x
y x x x e =++-, 求 y '，y ''.
4. 设曲线)(x y y =由方程24
00cos arctan(1)0x y
tdt t dt π-++=⎰⎰所确定， 求：此曲线在横坐标为4π=
x 的切线方程.
5. 设)(x y y =由参数方程sin cos 2x t y t
=⎧⎨=⎩所确定，求dx dy 及22d y dx ．
6. 求不定积分4sin ln 1(cos )(1)
x kx e x dx x x x +++⎰.
7. 设函数)(x f 满足1
2
0()12()f x x f x dx =
-⎰，求()f x .
8. 求微分方程tan sin 2y y x x '+=的通解．
9. ①求微分方程613x y y y e '''++=的通解．
②已知微分方程432sin 2x y y y e x '''-+=，写出它特解的形式.
10. ①求过点(4,1,3)-且平行于直线
3125
x z y --==的直线方程． ②求过点(1,1,1)且平行于向量(1,1,1)a =和(1,2,3)b =的平面方程．
三. 应用题（每小题9分，共18分）
1．设曲线 2y ax =和2x ay =（a >0）在第一象限围成的平面图形为D ，试求：
（1）平面图形D 之面积；
（2）求该平面图形D 绕x 轴旋转一周而得的旋转体的体积.
2. 有一个长方形,长为a,宽为长的38
,现将四角截去大小相同的小正方形折成一个无盖的长方盒问怎样截取才能使长方盒容积最大.
四. 证明题( 4分)
函数()f x 在[],a b 上连续, 且a c d b <<<,
证明：在[],a b 上必存在点ξ使 ()()()()s f c t f d s t f ξ+=+.
（其中s 、t 均为大于0的常数）。