在 l 十分缓慢的变化过程中，相积分
J pdq 常量
其中广义动量 p mgl ，广义坐标 。对于简谐运动 JE f
E 为只含 q 、 q 的二次项能量， f 为振动频率。
对于电路系统，同理有
J pdq 常量 ， E CU 2 ， f
2 LC
故 CU 2 LC 为常量，即
U C 3/4
r a
A
0 I 2
ln
r a
对于本题，磁场线方程为
B dr 0
或
Bydx Bxdy 0 而
Bx
A y
By
A x
故磁场线方程为
A dx A dy dA 0 x y
即
A 常数
在原点处
A
0 I 2
ln
a a
0 I 2
ln
a a
0
在 xOy 平面上任一点 P，若 P 距两直导线 r1 、 r2 ，则磁矢势
图4
题5 如图 5，两块相互垂直的无穷大与半无穷大的导体板分别带 上电势 U 与 0 ，两板最近相距 d，两板均垂直于 xOy 平面，相 交于 y 轴与 x 轴上的一段射线。求空间电势分布。
图5
1
格悟物理
参考答案
题 1 解：对于无穷长线电荷密度为 的带电导线，在距轴 r 处的电势
40
dz z2 r2
位置变至
r0
/0
， 0
。边界条件：
0
与
0
时
0
，
变为 0 与 时 0 。
在 (r， ) 坐标中，
电像法得
r0
/0
，
0
r0
/0
， 0
处有一线电荷密度为
的导线，由
处一线电荷密度为 的像导线，如图 8。
则空间电势分布为
20
ln
r2 r1
图8
其中，
r2
为
(r，
)
到
r0
/0
，
0
的距离，
r1
为
(r，
)
到
r0
/0
， 0
的距离。
故
r22 r2
r /002源自2r0/0r
cos
0
r12 r2
r /0
0
2
2r0
/0
r
cos
0
或 故空间电势分布
r22
rei
r e /0
i 0
0
rei
r e /0
i 0
0
得
U U0
C0 C
3/4
3
格悟物理
则
U
U0
1
C C0
sin t
3/4
题 4 解：在极坐标下 2 0 （除去导线所在位置），可表示为
1 r
r
r
r
1 r2
2 2
0
令 r r /0 ， 0
上述拉普拉斯方程化为
1 r
r
r
r
1 r2
2 2
0
仍为极坐票下的拉普拉斯方程，奇点 (r0 ， )
对于无穷长电流为 I 的长直导线，在距轴 r 处，磁矢势
A
0 I 4
dz z2 r2
其中，A 的方向与电流方向相同。以上 A、 均是发散的，但满足相同的形式，可认为
A
/
00
I
线电荷密度 的导线附近电场 可取 r a 处为电势零点，则
故无穷长电流为 I 的长直导线磁矢势
E
20r
20
ln
图2
题3 如图 3，有一稳恒的 LC 电路，电感为 L。电容由于某一机械原因，满足
C
C0
C sint ，其中
1 LC0
。将一理想交流电压表连在电容两端，t
0 时，电压
表示数为U0 。不考虑电路的损耗，求任意时刻 t 电压表示数 U。
图3
题4 建立如图 4 极坐标 (r， ) ，在 0 与 0 处有两块半无穷大的导体 板，在 (r0 ， ) 处有一线电荷密度为 的平行于两导体板的导线，其中 0 0 ， 导体板接地，求空间电势分布，并表示为有限的形式。
上无电流，可略去。P、Q 点为等势点，导线 PQ 可略去。进一步简为
如图 7 所示电路，则
RAB
r
3r r 3r r
7 4
r
图7 图6
题 3 解：若电容器上电量为 q，则系统能量
E
q2 2C
1 2
Lq 2
考虑一质量 m、摆长 l 的单摆，角位移 （ 1），系统能量
E
1 2
mgl
2
1 2
ml 22
r0ei
rei r0ei C
40
ln
rei rei
0
0
r0ei
0
rei
0
r0ei
r0ei
0
rei
0
r0ei
0
0
题 5 解：考虑以 (d ，0) 与 (d ，0) 为焦点的一族双曲线
x2 a2
y2 b2
1
其中 a2 b2 d 2 。
r12
rei
r e /0
i 0
0
rei
r e /0
i 0
0
40
ln
rei rei
0
0
r0ei
0
rei
0
r0ei
r0ei
0
rei
0
r0ei
0
0
4
当 rei r0ei ，必有 得 故
格悟物理
4
0
ln
rei
图9
故电势
1
2
arccos
(x d )2 y2 2d
b2 d 2 ），如图 9。 满足 2 0 ，即
在 r 条件下， 与 成线性关系
1
2
U
tan b b 或 cos a
aa
d
对于 x 0 的任意一点 (x，y)
2a (x d )2 y2 (x d )2 y2
故
arccos
(x d )2 y2 2d
(x d )2 y2
A
0 I 2
ln
r1 a
0 I 2
ln
r2 a
2
格悟物理
在 (b，0) 、 (b，0) 处，必定有 A 0 ，故
0 I 2
ln
b
a
a
0 I 2
ln
b
a
a
0
即 ba ba 1 aa
得
b 2a
题 2 解：将关于 ABCD 平面对称点（均为等势点）连接，并联后，
电路化简为如图 6 所示电路，每根导线上电阻为。图中 CM、DN 导线
当 a 0 时，双曲线趋近于 y 轴；当 a 时，双曲线的右支趋近于从 (d ，0) 向正 x 轴方向发射的
b
b
一段射线。这两条曲线恰好是 U 与 0 的两条曲线。
空对间于中ax22的等by22势线1的必曲定1r 线是r族一 r，族r在性极质 坐相r12 标近2下的2 曲r 0线，可时猜，想等等势势线为为ax直22 线 by，22 且 1电（势a2
格悟物理
电磁学
题1 有两根平行的无穷长直导线通上同向等大的电流 I，位 置如图 1。导线垂直于纸面，相交于 (a，0) 与 (a，0) 处，磁场线 方向如图 1。考虑经过原点的磁场线 C，与 x 轴相交于 (b，0) 与 (b，0) 两点。试求 b。
图1
题2 如图 2，正十二体上每边电阻为 r，AB、CD 为一对边，将 AB、CD 两边上 电路断开，求 AB 间电阻 RAB 。