小结：
求一点电势要已知这点到无穷远的场强分 布；
电势叠加要先求各带电体单独存在时的电 势，然后再叠加；
电势是标量，叠加是标量叠加，比场强叠 加容易
2004.2.
北京大学物理学院王稼军编写
电场强度和电势
已知场强 已知电势
可求电势 可否求场强？
等势面
等势面与电力线处处正交 证明：设一试探电荷q0沿任意一个等势面作一任意元
Δn 很小， 场强E变化不大
U U
E lim
n 0 n n
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E U(gradU)
i j k x y z
矢量微分算符
直角坐标系表示
E总是沿着指向电势减少的方向——E与Δn相反 在数学场论中把
U : 称作梯度
A: 称作散度 A: 称作旋度
例题
1
4 0
Qa r2
E3
1
4
0
Qa Qb r2
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0 r Ra Ra r Rb
r Rb
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III
U3
r E3
dl
1
4 0
Qa
Qb r
II
U2
E dl
r
Rb r
E2
dl
Rb E3 dl
Qa (1 1 ) Qa Qb 1 (Qa Qb )
位移dl电场力所做的元功
dA q0 E dl q0Edlcos 0 cos 0
E dl
2
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等势面密集处场强大，稀疏处场强小
证明：设：电场中任意两个相邻等势面之间的电势差 为一定的值，按这一规定画出等势面图（见图），以 点电荷为例，其电势为
Q到q1的 距离
每项均与路径无关，只与位置有关
任意有限大的带电体产生的电场
可以将带电体无限分割成微元，每一个 微元均为一点电荷 ——点电荷组
结论：在任何电场中移动试探电荷时， 电场力所做的功除了与电场本身有关外， 只与试探电荷的大小及其起点、终点有 关，与移动电荷所走过的路径无关
2004.2.
引力
引入引力势能
重力
引入重力势能
势函数
弹性力
引入弹性势能
（位）
静电力
引入静电势能
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电势能、电势差、电势
电场力 的功
定义
Q
静电场与 q0有能量交换
APQ q0 P E dl WPQ WP WQ (WQ WP )
电势能的 改变量
q0在 P点 的电势能
P Ek dl
U P1 U P2 U Pk U pi
i
连续带电体有
UP P E dl dU
1 dq 1 dq 1 dq
dU
4 0
P r 2 4 0 (
r
P 4 0
rP
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讨论
电势与场强一样是一个描述场本身性质的物理量， 与试探电荷无关，是标量。电势叠加是标量叠加。
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求电势 用电势定义求：
U P
E dl
P
用电势叠加原理求 UP dU
P35例题11－12自己看 补充题两个均匀带电的同心球面，半径分别为Ra和Rb，
带电总量分别为Qa和Qb,求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区内的电势 分布 方法一：已知场强求电势
E1 0
E2
q0在 Q点 的电势能
电势增量
可以与重力做功类比
电场力做正功，电势能将减少 电场力做负功，电势能将增加
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电势的定义
0 电场付出能量，能量减少
APQ WPQ
( 电 势 能 的 减 少，与 场 源 和q0均 有 关
0 电场吸收能量，能量增加
从中扣除q0,即引入电势
U (r) 1 q
4 0 r
微分
dU (r)
1
4 0
q r2
dr
因为相邻等势面电势差为一定值，所以有
dr r , dU U
r 4 0 r 2 U
q
半径之差∝r2
定值
而
E
1 r2
r 越 大 r 2越 大，等 势面 间 距越 大，越 稀，E越 小
r 越 小 r 2越 小，等 势面 间 距越 小，越 密，E越 大
2020高中物理竞赛
电磁学
§4 环路定理
静电场力做功与路径无关
电荷间的作用力是有心力 ——环路定理 讨论静电场的环流
流速场的环流
0 有旋
v dl 0 无旋
静电场：电力线不闭合
Edl 0
可以猜到静电场的环流为零
证明
单个点电荷产生的场
把试探电荷q0从P移到Q
APQ
电势UP：P与无穷处电势差 电势零点 选取
可以任意选取
选择零点原则：场弱、变化不太剧烈
问题
选无穷远为零点？选地为零点即地和无穷远等电 势吗？
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地与无穷远的电势差
实际地球周围大气中有一个方向向下的静电场 是地球所带的负电荷和大气中的等离子体产生 的
4 0 r Rb 4 0Rb 4 0 r Rb
I
U1
E dl
r
Ra r
E1
dl
Rb Ra
E2
dl
Rb E3 dl
0 1 (Qa Qb ) Qa Qb 1 (Qa Qb )
4 0 Ra Rb 4 0Rb 4 0 Ra Rb
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电势梯度
场有分布，沿各方向存在不同的方向微商
梯度：最大的方向微商
如 速度梯度 温度梯度等
沿l的方向微商可以表示为
U
U
lim
l l o l
若取垂直方向，即场强方向n，则沿该方向的
方向微商为 U lim U 显然 n l cos
n n o n
有
U n
Q
F dl
P
Q
Q
F cosdl Fdr
P
P
rQ Fdr qq0
rP '
4 0
rQ dr r rP' 2
APQ
qq0
4 0
rQ dr r rP ' 2
qq0
4 0
1 rp'
1 rQ
q0
rQ E(r)dr
rP '
静电场力做功只与起点终点有关，与路径无关
点电荷组产生的场
q1, q2 , , qn
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电子伏特
电子伏特：能量单位
带有电量+e或-e的粒子飞跃一个电势差为1V的 区间，电场力对它作的功(从而粒子本身获得 这么多能量（动能）——1eV
1eV 1.601019C 1V 1.601019 J
1keV 103eV 千 1MeV 106 eV 兆 1GeV 109 eV 吉 1TeV 1012 eV 太
方法二：电势叠加
内壳单独存在
外壳单独存在
r Ra r Ra
U内
Qa
4 0Ra
U外
Qa
4 0r
r Rb r Rb
U内
Qb
4 0Rb
U外
Qb
4 0r
各区域的电势分布是内外球壳单独存在时的
电势的叠加 Ⅰ：
Ⅱ： Ⅲ：
U1内 U 2内 U 1内 U 2内
U1外 U 2外
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[解]电子带负电，它沿电势升高的方向加速运动，即从阴极 K出发到达阳极 A. 静电场力是保守力，按能量守恒
1 2
mev
2
eU KA
(1.601019) (3 000)
J
4.801016 J
电子到达阳极时获得的动能为
v 2eUKA me
24.801016 9.111031
m/s
3.25107 m/s
谢谢观看！
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E dl
P
两点之间电势差可表为两点电势值之差
Q
Q
UPQ
Edl
P
Edl
P
E dl U (P) U (Q)
单位：1V(伏特）＝1J/C
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电势叠加原理
Ui
1
4 0
qi ri
点电荷组有
UP
Edl
P
P E1 dl
P E2 dl
WPQ
q0
APQ q0
UPQ
Q
E dl
P
P、Q两点之间的电势差定义为
从P点到Q点移动单位正电荷时电场力所作的功
单位正电荷的电势能差
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空间某点的电势值
为了确定某点的值，还需要选择零点
一般选择无穷远为势能零点,P点电势值为
U ( p) U P
AP q0
U l
1
cos
,或 U l
U n
cos
U l
U n
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结论：两等势面间U沿Δn 方向的变化率比沿 其他任何方向的变化率都大
电势梯度
方向： 沿电势变化最快的方向