,b R)的共轭复数记作 z，即 z＝a－bi
共轭复数的简单性质：
z＋z＝_2_a_；z－z＝_2_b_i_；z z＝_a__2＋__b_2_
【类比推广】在实数中，除法运算是乘法的逆运算，
类似地，可以定义复数的除法运算：
复数除法定义: 把满足(c＋di)(x＋yi) =a＋bi (c＋di≠0)
位，则 z 等于 ( A )
A．－i B．i C．－1 D．1
解析 z＝1i ＝－i.
练习 2．复数1i＋－22i等于
( A)
A．i
B．－i
C．－45－35i
D．－45＋35i
【复数的乘方】
复数的乘方是相同复数的积。实数集R中正
整数指数幂的运算律,在复数集C中仍然成
立.即对任意的z，z1，z2∈C及m，n∈N*，
故选 A.
2.
复数
i2＋i3＋i4 1－i
等于
A．－12－12i B．－12＋12 i
【当堂检测】
C．12－12i
( C) D．12＋12i
i2＋i3＋i4 －1－i＋1 －i
解析
＝
＝
1－i
1－i 1－i
＝1－－ii1＋1＋ii＝－i2＋1＝12－12i.
【当堂检测】
3.计算：(1)(1－i)(－12＋ 23i)(1＋i)； (2)－1＋2 23＋3ii＋(1－2i)2 006.
i4n ＋ i4n1＋ i4n2 ＋ i4n3 ＝0，(n∈N*)．
例4 设 1 3 i, 求证:
22
⑴ 1 2 0;
(2) 3 1.
证明:
(1) 2 ( 1
2
3 i)2 1
2
4
3 i 3 1 242
3i 2
1 2 1 ( 1 3 i) ( 1 3 i) 0
＝－1－2i.
小结 复数的运算可以看作多项式的化简， 加减看作多项式加减，合并同类项，乘法和 除法可看作多项式的乘法．
22
22
（2）由（1）可知， 2 1 0
3 1
【思考】
如果把例4中的 换成 ，那么欲证的 两个等式还成立吗？在复数范围内，你能
写出方程 x3＝1 的3个根吗？
答：成立，
方程的3个根分别是：1，，
常用结论
练习：计算 (1－i)10 (1＋i)10
解 法一：用结论2得
(1－i)10 (1＋i)10
【当堂检测】
4.计算：2＋1i－12－i i2＋1－i－i51＋i2－1－1－i2 i011.
2＋i1－i2 1－i－1＋i2 1－i2 011
解
＋
1－2i
i5
－ 1－i
2＋i·－2i 1－i－2i 1＋i
＝
＋
1－2i
i
－ 1－i
2－4i 1－3i 1＋i2
＝＋ 1－2i
i
－
2
＝2－(i＋3)－i
i) ＝ ac＋bd i) c2＋d 2
bc－ad c2＋d 2
i
由于 c＋d i ≠0， 所以 c2＋d 2 ≠0 ，可见，两个复数
的商仍是一个复数．（其中a，b，c，d都是实数）
----------分子分母同乘以分母的共轭复数， 即把“分母 实数化”．
例1
计算
2－i 3－4i
练习 1：设复数 z 满足 iz＝1，其中 i 为虚数单
i4n＝1 ，
i4n1＝ i ，
i4n2 ＝－1 ， i4n3 ＝ －i．
i4n ＋ i4n1＋ i4n2 ＋ i4n3 ＝0，(n∈N*)．
例2 计算
(1＋i)2＝ _2_i_; (1－i)2＝ －__2_i;
1＋i 1－i
＝__i__
；11－ ＋ii
＝_－__i_
；
(11－ ＋ii )2011＝____i __ .
高二 数学 选修2-2
3.2 复数的四则运算（2）
学习目标：
1．掌握复数的除法及乘方运算法则及意义． 2．理解并掌握复数进行四则运算的规律．
【温故知新】
1．复数的加减法运算法则.
(a＋bi)± (c＋d i)＝(a± c)＋(b± d)i
2．复数乘法的法则.
a＋bic＋d i＝ac＋bci＋ad i＋bd i2＝ac bd ＋bc＋ad i
例3 求值：i＋i2 ＋i3 ＋L ＋i2010
解：原式＝（i＋i2 ＋i3 ＋i4 ）＋
（i5 ＋i6 ＋i7 ＋i8 ）＋L ＋
（i2005 ＋i2006 ＋i2007 ＋i2008 ）＋i2009 ＋i2010
＝0＋i1＋i2 ＝－1＋i
i4n＝1 ，
i4n1＝ i ，
i4n2 ＝－1 ， i4n3 ＝ －i．
解：（1）(1－i)(－12＋
23i)(1＋i)＝(1－i)(1＋i)(－12＋
3 2 i)
＝(1－i2)(－12＋ 23i)＝2(－12＋ 23i)＝－1＋ 3i.
－2 3＋i
(2)
＋(
2 )2
1＋2 3i 1－i
006＝－1＋2 23＋3iiii＋－221i0013003
＝－i－2 23＋3ii－i11003＝i－－1 i＝i－i＝0.
有:
z m z n＝z mn，
(zm )n＝zmn，
(z1z2 )n＝z1n z2n．
【温故知新】 【探究】 虚数单位 i 的指数变化规律
i1 i ， i2 －1， i3 －i ， i4 1 ，
i5 ＝_i_ ，i6 ＝－__1 ，i7 ＝－__i ，i8 ＝_1_
你能发现规律吗？有怎样的规律？
＝
(－2 i)5 (2 i)5
＝－1
法二：用结论3得
(1－i)10 (1＋i)10
＝(－i)10＝－1
【当堂检测】
1．i 是虚数单位，复数－1＋1＋2i3i等于 ( A )
A．1＋i
B．5＋5i
C．－5－5i
D．－1－i
－1＋3i －1＋3i1－2i 5＋5i
解析
＝
＝
1＋2i 1＋2i1－2i
5
＝1＋i.
的复 数 x＋yi 叫做复数 a＋bi 除以复数 c＋di 的商, (其
中a，b，c，d，x，y都是实数)
记为
(a＋b i)÷
(c＋d
i)或
a＋b c＋d
i i
.
分母为虚数？
z z＝__a_2＋__b_2_
复数的除法法则
一般地，我们有：
a＋b i ＝ (a＋b i)(c－d c＋d i (c＋d i)(c－d