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3.2复数的四则运算(2)除法和乘方
,b R)的共轭复数记作 z,即 z=a-bi
共轭复数的简单性质:
z+z=_2_a_;z-z=_2_b_i_;z z=_a__2+__b_2_
【类比推广】在实数中,除法运算是乘法的逆运算,
类似地,可以定义复数的除法运算:
复数除法定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0)
位,则 z 等于 ( A )
A.-i B.i C.-1 D.1
解析 z=1i =-i.
练习 2.复数1i+-22i等于
( A)
A.i
B.-i
C.-45-35i
D.-45+35i
【复数的乘方】
复数的乘方是相同复数的积。实数集R中正
整数指数幂的运算律,在复数集C中仍然成
立.即对任意的z,z1,z2∈C及m,n∈N*,
故选 A.
2.
复数
i2+i3+i4 1-i
等于
A.-12-12i B.-12+12 i
【当堂检测】
C.12-12i
( C) D.12+12i
i2+i3+i4 -1-i+1 -i
解析
=
=
1-i
1-i 1-i
=1--ii1+1+ii=-i2+1=12-12i.
【当堂检测】
3.计算:(1)(1-i)(-12+ 23i)(1+i); (2)-1+2 23+3ii+(1-2i)2 006.
i4n + i4n1+ i4n2 + i4n3 =0,(n∈N*).
例4 设 1 3 i, 求证:
22
⑴ 1 2 0;
(2) 3 1.
证明:
(1) 2 ( 1
2
3 i)2 1
2
4
3 i 3 1 242
3i 2
1 2 1 ( 1 3 i) ( 1 3 i) 0
=-1-2i.
小结 复数的运算可以看作多项式的化简, 加减看作多项式加减,合并同类项,乘法和 除法可看作多项式的乘法.
22
22
(2)由(1)可知, 2 1 0
3 1
【思考】
如果把例4中的 换成 ,那么欲证的 两个等式还成立吗?在复数范围内,你能
写出方程 x3=1 的3个根吗?
答:成立,
方程的3个根分别是:1,,
常用结论
练习:计算 (1-i)10 (1+i)10
解 法一:用结论2得
(1-i)10 (1+i)10
【当堂检测】
4.计算:2+1i-12-i i2+1-i-i51+i2-1-1-i2 i011.
2+i1-i2 1-i-1+i2 1-i2 011
解
+
1-2i
i5
- 1-i
2+i·-2i 1-i-2i 1+i
=
+
1-2i
i
- 1-i
2-4i 1-3i 1+i2
=+ 1-2i
i
-
2
=2-(i+3)-i
i) = ac+bd i) c2+d 2
bc-ad c2+d 2
i
由于 c+d i ≠0, 所以 c2+d 2 ≠0 ,可见,两个复数
的商仍是一个复数.(其中a,b,c,d都是实数)
----------分子分母同乘以分母的共轭复数, 即把“分母 实数化”.
例1
计算
2-i 3-4i
练习 1:设复数 z 满足 iz=1,其中 i 为虚数单
i4n=1 ,
i4n1= i ,
i4n2 =-1 , i4n3 = -i.
i4n + i4n1+ i4n2 + i4n3 =0,(n∈N*).
例2 计算
(1+i)2= _2_i_; (1-i)2= -__2_i;
1+i 1-i
=__i__
;11- +ii
=_-__i_
;
(11- +ii )2011=____i __ .
高二 数学 选修2-2
3.2 复数的四则运算(2)
学习目标:
1.掌握复数的除法及乘方运算法则及意义. 2.理解并掌握复数进行四则运算的规律.
【温故知新】
1.复数的加减法运算法则.
(a+bi)± (c+d i)=(a± c)+(b± d)i
2.复数乘法的法则.
a+bic+d i=ac+bci+ad i+bd i2=ac bd +bc+ad i
例3 求值:i+i2 +i3 +L +i2010
解:原式=(i+i2 +i3 +i4 )+
(i5 +i6 +i7 +i8 )+L +
(i2005 +i2006 +i2007 +i2008 )+i2009 +i2010
=0+i1+i2 =-1+i
i4n=1 ,
i4n1= i ,
i4n2 =-1 , i4n3 = -i.
解:(1)(1-i)(-12+
23i)(1+i)=(1-i)(1+i)(-12+
3 2 i)
=(1-i2)(-12+ 23i)=2(-12+ 23i)=-1+ 3i.
-2 3+i
(2)
+(
2 )2
1+2 3i 1-i
006=-1+2 23+3iiii+-221i0013003
=-i-2 23+3ii-i11003=i--1 i=i-i=0.
有:
z m z n=z mn,
(zm )n=zmn,
(z1z2 )n=z1n z2n.
【温故知新】 【探究】 虚数单位 i 的指数变化规律
i1 i , i2 -1, i3 -i , i4 1 ,
i5 =_i_ ,i6 =-__1 ,i7 =-__i ,i8 =_1_
你能发现规律吗?有怎样的规律?
=
(-2 i)5 (2 i)5
=-1
法二:用结论3得
(1-i)10 (1+i)10
=(-i)10=-1
【当堂检测】
1.i 是虚数单位,复数-1+1+2i3i等于 ( A )
A.1+i
B.5+5i
C.-5-5i
D.-1-i
-1+3i -1+3i1-2i 5+5i
解析
=
=
1+2i 1+2i1-2i
5
=1+i.
的复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, (其
中a,b,c,d,x,y都是实数)
记为
(a+b i)÷
(c+d
i)或
a+b c+d
i i
.
分母为虚数?
z z=__a_2+__b_2_
复数的除法法则
一般地,我们有:
a+b i = (a+b i)(c-d c+d i (c+d i)(c-d