即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分 别相加(减).结果还是一个复数。
(2)复数的加法满足交换律、结合律,即对任何
z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
例1.计算 (5 6i) (2 i) (3 4i)
解: (5 6i) (2 i) (3 4i) (5 2 3) (6 1 4) i 11i
实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中 仍然成立.即对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有 zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.
(a bi)2 (a2 b2 ) 2abi. | z1z2 || z1 || z2 |
(3)复数的除法法则 先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分 母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).即
- a (a>0)的平方根为 ai
实数 (b=0)
4. 复数z=a+bi
(a、bR)
虚数 (b0)
特别的当 a=0 时 纯虚数
显然,实数集R是复数集C的真子集,即R C.
5. 两个复数相等
a c
设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR),则 z1=z2 b d,
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到n∈Z.）
②设 1
2
3 2
i,则有:
3

1; 2

__
;1


20.__ Nhomakorabea__
事实上, 与 统称为1的立方虚根,而且对于,也
有类似于上面的三个等式.
③ (1 i)2 2i; 1 i; 1 i i; 1 i i.
例3.计算 (1 2i) (3 4i)
解: (1 2i) (3 4i) 1 2i 3 4i
(1 2i)(3 4i) (3 4i)(3 4i)

38 6i 32 42
4i

5 10i 25
1 2i 55
(6)一些常用的计算结果
i
1i 1i
2.复数的乘法与除法
(1)复数乘法的法则
复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须在所 得的结果中把i2换成-1,并且把实部合并.两个复数的 积仍然是一个复数,即: (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.
(2)复数乘法的运算定理
复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法 的分配律.即对任何z1,z2,z3有 z1z2=z2z1; (z1z2)z3=z1(z2z3); z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
即实部等于实部,虚部等于虚部.
特别地，a+bi=0 a=b=0 .
注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.
注意:当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小.
6.什么是复数z的两个几何意义？ 复数的模长如何计算？
1.复数加减法的运算法则：
(1) 运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,那么 z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
第3章
数系的扩充___复数
3.2 复数的运算
1.对虚数单位i 的规定
① i 2= -1; ②i 可以与实数一起进行四则运算,并且加、乘法运
算律不变. 练习. 根据对虚数单位 i 的规定把下列运算的结果都化
为 a+bi（a、bR）的形式. 3(2+i)= 6+3i ； (3-i)i= 1+3i ；i = 0+i ； -5= -5+0i ；0= 0+0i ；2-i= 2+(-1)i .
( z1 ) z2
z1
__
z2
.
| z1 | | z1 | z2 | z2 |
复数的四则运算
复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区
别，最主要的是在运算中将i21结合到实际运算过程中去。
例2.计算 (1 2i)(3 4i)(2 i)
解: (1 2i)(3 4i)(2 i) (11 2i)(2 i) 20 15i
ac bd bc ad (a bi) (c di) c2 d 2 c2 d 2 i(c di 0).
(4)复数的一个重要性质
两个共轭复数z,z的积是一个实数,这个实数等于 每一个复数的模的平方,即z z=|z|2=|z|2.
_____
__
(5)共轭复数的乘除性质: _______ __ ___ z1 z2 z1 z2 ;
2. 我们把形如a+b i(其中a、b R )的数称为 复数, 记作：z=a+bi ， 其中a叫做复数 z 的 实部 、
b叫做复数 z 的 虚部 . 全体复数集记为 C .
3. 由于i2= (-i)2 = -1，知 i为-1的一个 平方根 、-1的另一个 平方根为-i ;
一般地，a(a>0)的平方根为 a 、