留数的计算方法
摘 要：本文介绍了常见的几类的留数的计算方法.并通过实例加以阐析. 关键词：留数;极点;零点
The Calculation of the Residue
Abstract: This paper presents several commonly solving methods of residue. Based on examples, these solving methods are stated and analyzed. Key W ords: Residue; Poles; Zero-point
引言
由留数定理得知，计算函数)(z f 沿C 的积分，可归结为计算围线C 内各孤立奇点处的留数之和．而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幂的系数，因此我们只关心该奇点处罗朗级数中的负一次幂系数，也就是说，不必完全求出罗朗级数就可以完全确定该点的留数.
下面介绍求留数的几种常用方法，使用时要根据具体条件，选择一个较方便的方法来进行.
1. 有限远点留数的计算方法
留数定理把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上的留数的问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幂一次项的系数1-C .在一般情况下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型，分别建立留数计算的一些简便方法是十分必要的. 1.1 若0z 为)(z f 的可去奇点
则)(z f 在R z z <-<00内的罗朗展开式中不含负幂项，从而01=-a ，故当0z 为
)(z f 的可去奇点时，
0Re ()0.s f z = (1.1)
1.2 若0z 为)(z f 的一阶极点
(1)第一种情形：
若0z 为)(z f 的一阶极点，则)(z f 在R z z <-<00内的罗朗展开式为
110010()()()f z a z z a a z z --=-++-
+
显然)()lim (01z f z z a -=-，故当0z 为)(z f 的一阶极点时，
00Res ()lim()()
z z f z z z f z →=- （1.2）
(2)第二种情形： 若0z 为)
()
()(z Q z P z f =
的一阶极点，且0)(0'≠z Q ，则 000()
Res ()()P z f z Q z =
'. (1.3)
1. 3 若0z 为)(z f 的m 阶极点
则
01
0011d Res ()lim [()()]
(1)!d m m m z z f z z z f z m z --→=--. （1.4）
一般来讲,公式(1.4)适合计算级数较低的函数的极点的留数.如果极点的级数较高时,计算可能比较复杂,此时可根据具体情况改用其他方法计算留数. 1.4 当0z 为)(z f 的本性奇点时
几乎没有什么简捷方法，因此对于本性奇点处的留数，就只能利用罗朗展开式的方法或计算积分的方法来求． 1.5 有限远点留数计算典型实例
例 1.5.1 求⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-1,1Re 2
z ze s z ． 解 容易知道1=z 是函数1
2-z ze z
的一阶极点，所以
211Res[(),1]lim(1)lim 112z z z z ze ze e
f z z z z →→=-==
-+.
本题也可用上述方法 设)
()
()(z Q z P z f =
，取z ze z P =)(，1)(2-=z z Q ，显然)(z P ，)(z Q 满足方法1.2中(2)的条件，所以
2(1)Res ,11(1)2z ze P e z Q ⎡⎤==
⎢⎥'-⎣⎦
.
例 1.5.2 求函数 2
)
1)(1()(+-=
z z z
z f 在1=z 处的留数. 解 由于1=z 是分母的一级零点,且分子在1=z 时不为零,因此, 1=z 是)(z f 的一级极点.由公式(1.2)可以得到
=)1),((Re z f s 41
))
1)(1(1
(lim 2
1
=+--→z z z z z . 由于1-=z 是分母的二级零点,且分子在1=z 时不为零,因此, 1-=z 是)(z f 的二级极点.由公式(1.4)得
=-)1),((Re z f s ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+-→22
1)1)(1()1(lim z z z z dz d z =4
1
)1(1lim 21-=---→z z .
例 1.5.3 求函数)(z f 1
sin 4
-=
z z
在1=z 处的留数. 解 因为14-z 以1-=z 为一级零点,而01sin ≠,因此)(z f 以1=z 为一级极点.由公式(1.3)得
=
)1),((Re z f s 1sin 4
1
4sin )1(sin 1
3
1
'
4==
-==z z z z z z . 例1.5.4 求函数)(z f z
z e 1+=在0=z 处的留数.
解 0=z 是)(z f 的本性奇点,因为
)(z f z
z e
1+==⋅=z
z
e e 1
))!
1(!21(1
2 +-++++-n z z z n , )0(∞<<z 所以相乘后级数
z
1
的系数1-C 为 1-C +-++++
=!
)!1(1!3!21!211n n 于是
)0),((Re z f s +-++++
=!
)!1(1
!3!21!211n n 2. 无限远点处的留数计算方法
2.1 无穷远点留数定义或留数和定理
定义 2.1.1[3] 设∞点为函数)(z f 的一个孤立奇点,即)(z f 在+∞<<z R 内解析,则称积分
⎰-1
)(21
C dz z f i π值为)(z f 在∞点的留数,记作 ⎰-=
∞1
)(21
)),((Re C dz z f i z f s π. 其中,C 为圆周R r z >=,1-C 的方向是顺时针的. 设)(z f 在+∞<<z R 内的洛朗展式为
)(z f +++++++=--n n m
m
z C z C C z C z
C 1011
1 上式两端同乘
i
π21
,沿1-C 逐项积分,并根据定义1，有 ⎰-=∞1)(21)),((Re C dz z f i z f s π121-+∞-∞=-=-=⎰∑C dz z C i C
n
n n π. (2.1) 即)(z f 在∞点的留数等于它在∞领域的洛朗展式中负一次幂的系数的相反数.
这里需要指出的是,当0z 为)(z f 的有限可去奇点时,必然有0)),((Re 0=z z f s ;但是,如果∞是)(z f 的可去奇点时,则不一定有0)),((Re =∞z f s . 如 )(z f z
1
1+
=,∞=z 在是)(z f 的可去奇点;但01)),((Re ≠-=∞z f s . 例 2.1.1 求函数1
)(2-=z e z f z
在z =∞点处的留数.
解 函数1)(2-=z e z f z
以1z =及1z =-为一阶极点，而z =∞为本性奇点 又
1
1
Res (1),Res (1)22e f f e -=-=-
所以
1Res ()2e e
f --∞=
． 关于函数在有限孤立奇点和无穷远点留数之间的关系,有如下定理. 定理2.1.1 若 0)(lim =∞
→z f z ，则
Res ()lim[()]z f z f z →∞
∞=-⋅. (2.2)
证明 由条件，故可设)(z f 在z =∞的去心邻域的洛朗级数
1
()000n
n
c c f z z z
--=+
++
++++
因此
1Res ()lim[()]
z f c z f z -→∞
∞=-=-⋅．
公式(2.2)在计算留数时是非常有用的.如果已知函数在所有有限孤立奇点的留数之和,由式(2.2)即可知道函数在无穷远点留数;反之如果知道了函数在无穷远点的留数,则函数在所有有限孤立奇点的留数之和便可以求出.当函数的有限孤立奇点较多时,其留数之和计算比较复杂时,通过求函数在无穷远点的留数来求其在所有有限孤立奇点的历史之和是非常方便的.
另外,我们还可以先计算出比较容易计算的函数的部分孤立奇点的留数,然后用公式(2.2)求出比较难计算的另一部分孤立奇点的留数之和.
结束语
留数定理的应用为一部分积分的计算提供了便利，特别是对某些复杂的积分，它大大缩短求解过程.因此，利用留数计算定积分对理解留数理论和掌握一些特殊积分的计算有很大帮助，在平时的学习生活中留数理论或许能成为求积分与实际应用的有利工具.
参考文献
[1] 钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2004.
[2] 白艳萍等.复变函数与积分变换[M]. 北京：国防工业出版社，2004. [3] 高宗胜等.复变函数与积分变换[M]. 北京：北京航空航天大学出版社, 2006.。