另解： f1(z) 在点 z0 0 的去心邻域 0 z 内的
Laurent级数为
e
z z5

1

1 z5
1

z
1 z4

1 2! z 3

z2 2! 1
3! z 2

z3 3!
1 4! z
z4 4! 1
5!
z5 5! z
6!
z6
,6!
,

Res[ f1(z), 0] 1 ; Res[ f1(z),1] 0 于是由留数定理得积分值为
I1 2i[1 0] 2i
20
(2)
I2

z 2
esin z dz z 2 (z 2 1)
解： f2 (z) esin z [z 2 (z 2 1)] 在圆 z 2 的内部有一
2 当z0为f(z)=g(z-z0) 的孤立奇点时，若 g 为偶
函数，则f(z)在点z0的留数为零.
3 若z0为f(z) 的一级极点，则有
Re
s
f
(
z),
z0


lim
zz0
(
z

z0
)
f
(
z)
4 若z0为f(z) 的m级极点，则对任意整数 n m有
Re s
f (z), z0
个二级极点 z 0和两个一级极点 z i ,
于是利用留数的计算规则 2 和 1得
Res[
f
2
(
z
),0]

lim
z 0
(
ze2sinz1)

lim
z0
esin z
z
2
(cos 1
z

2z
z2
) 1
1
Res[
f2 (z), i]

lim[( z
zi

i)
z
2
esin (z2
C
C
C
0 (柯西积分定理)
2ic1
Laurent级数中负幂项c1(z z0 )1的系数
3
即
c1

1 2i

C
f (z)dz
f (z)在 z0 的留数 Res[ f (z), z0]
1. 定义 如果 z0 为函数 f (z) 的一个孤立奇点, 则沿
z0的某个去心邻域0 z z0 R内，包含 z0 的
又是函数 z 5 的五级零点.
于是它是 f1(z) 的四级极点, 可用规则 2计算其留数,其中 m 4,为了计算简便 应当取其中 n 5 ,这时有
Res[
f1 ( z ),0]

1 lim
4! z0
d4 dz 4
(e z
1)

1 4!
14
例3．求下列函数在指定点处的留数 (1) f1(z) (ez 1) z5 , z0 0 ;
Res[
f
(
z),
z0
]

P(z0 ) Q(z0 )
.Leabharlann 83.典型例题例1
求
f
(z)

ez zn
在
z

0 的留数.
解 因为 z 0 是 f (z)的n阶极点，
所以
Res

ez zn
,0

(n
1
dn1

1)!
lim
z0
dz
n1

zn

ez zn

1. (n 1)!

1 4

1 4

0
.
23
例6
计算积分
z2 C z3(z 1)(z 3) dz ,
C为正向圆周 : z 2.
解
被积函数
f
(z)

z3(z
z2 1)(z

3)
除 z 0,
1, 3 点外, 无其他奇点， z 3 在圆外。
z2
所以 C z3(z 1)(z 3) dz
c1(z z0 ) cn(z z0 )n
2
积分 f (z)dz
C
cn (z z0 )ndz c1 (z z0 )1dz
C
C
0 (高阶导数公式)
2i
c0dz c1(z z0 )dz cn(z z0 )ndz
sin z6
z
,0

c1


1 5!
.
12
注意: 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则. 如 z0 为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时,
可直接展开Laurent级数求 c1 来计算留数 .
2. 在应用规则2时, 为了计算方便一般不要将m
取得比实际的级数高. 但有时把m取得比实际的
•规则1 如果 z0为 f (z)的一级极点, 那么
Res[f
(z),
z0 ]

lim(z
z z0

z0 )
f
(z).
6
规则2 若z0为f(z) 的m级极点, 则对任意整数 n m有
Re s
f (z), z0

(n
1 1)!
lim
z z0
d n1 dz n1
[( z

z0 )n
任意一条简单闭曲线 C 的积分 f (z)dz 的值 除
C
以 2i 后所得的数 称为 f (z)在 z0 的留数. (Residue)
记作 Res[ f (z), z0]. (即 f (z)在 z0 为中心的圆环
域内的Laurent级数中负幂项c1(z z0 )1的系数.)
4
2. 计算留数的一般公式
z n0 (2n 1)!
显然 z0 0 为它的本性奇点,其中 n 0 的项的系
数为 c1 1 ,于是得
Res[sin1 z ,0] c1 1
16
(3) f3(z) z sin2 z, z0 0 .
解：显然 z0 0 是 f3(z) z sin2 z 的一级极点;可是 不能用规则 3求其留数,由规则 1得
2i{Res[ f (z), 0] Res[ f (z), 1]}
24
Res[
f
(
z
),
1]

lim[(
z1
z

1)
z
3
(
z
z
2 1)(z

] 3)
1 2
Res[ f (z), 0] 1 lim[ z 2 ] 1 lim[ 1 1 ] 2 z0 (z 1)(z 3) 4 z0 z 1 z 3

(n
1 1)!
lim
z z0
d n1 dz n1
[( z

z0 )n
f
( z )]
26
5 设f(z)=P(z)/Q(z)，其中P(z)和Q(z)在点z0都解析。
若 P(z0 ) 0 ，Q(z0)=0且
级极点，且有 Re s f (z),
Q ' ( z0
z0
)P(0z，0 ) 则z0为f(z)
函数, 则f(z)在点z0的去心邻域内Laurent级数只含
z-z0的偶次幂, 其奇次幂系数都为0, 得
Re s f (z), z0 0
5
(2) 如果 z0为 f (z) 的本性奇点, 则需将 f (z)展开
成Laurent级数求 c1.
(3) 如果 z0为 f (z)的极点, 则有如下计算规则
§5-2 留数和留数定理
一Δ、留数的定义和计算 二、 留数定理 三*、函数在无穷远点的留数
1
一Δ 、留数的定义和计算
设 z0 为 f (z)的一个孤立奇点;
C .z0
z0的某去心邻域 0 z z0 R 包含 z0 的任一条正向简单闭曲线C.
f (z) 在 0 z z0 R 内的 Laurent 级数: f (z) cn(z z0 )n c1(z z0 )1 c0
Q'(z0 )
的一
6 由Laurent级数展开定理，留数等于f(z)在环域 0 z z0 内Laurent级数的负一次幂系数c-1
27
第五章作业：P183
1.（1） （2） （6） （7） 8.（1） （2） （4） （7） 9. （1）（2） 13. （1）（3） （5）
28
z

1)
]

i 2
eish1
sin i eii eii 1 e e1 ish1
2i
i2
21
(2)
I2

z 2
esin z dz z 2 (z 2 1)
Res[
f 2 ( z ),i]

lim [(z
zi

i)
esin z2(z2
z

] 1)

esin z
级数高反而使计算方便. 如上例取 m 6
Res
f
(z),0

(6
1 lim 1)! z0
d5 dz5

z6

z
sin z6
z


1 5!
.
13
例3．求下列函数在指定点处的留数
(1) f1(z) (ez 1) z5 , z0 0 ;