2020-2021 中考数学(相似提高练习题)压轴题训练及详细答案一、相似1.如图,在矩形ABCD中,AB=18cm,AD=9cm,点M沿AB边从A点开始向B以2cm/s 的速度移动,点N沿DA边从D点开始向A以1cm/s的速度移动.如果点M、N同时出发,用t(s)表示移动时间(0≤t≤9),求:(1)当t为何值时,∠ANM=45°?(2)计算四边形AMCN的面积,根据计算结果提出一个你认为合理的结论;(3)当t为何值时,以点M、N、A为顶点的三角形与△BCD相似?【答案】(1)解:对于任何时刻t,AM=2t,DN=t,NA=9-t,当AN=AM时,△MAN为等腰直角三角形,即:9-t=2t,解得:t=3(s),所以,当t=3s时,△MAN为等腰直角三角形(2)解:在△NAC中,NA=9-t,NA边上的高DC=12,∴S△NAC= NA•DC= (9-t)•18=81-9t.在△AMC中,AM=2t,BC=9,∴S△AMC= AM•BC= •2t•9=9t.∴S四边形NAMC=S△NAC+S△AMC=81(cm2).由计算结果发现:在M、N两点移动的过程中,四边形NAMC的面积始终保持不变.(也可提出:M、N两点到对角线AC的距离之和保持不变)(3)解:根据题意,可分为两种情况来研究,在矩形ABCD中:①当NA:AB=AM:BC 时,△NAP∽△ABC,那么有:( 9-t):18=2t:9,解得t=1.8(s),即当t=1.8s时,△NAP∽△ABC;②当 NA:BC=AM:AB时,△MAN∽△ABC,那么有:( 9-t):9=2t:18,解得t=4.5(s),即当t=4.5s时,△MAN∽△ABC;所以,当t=1.8s或4.5s时,以点N、A、M为顶点的三角形与△ABC相似【解析】【分析】(1)根据题意可得:因为对于任何时刻t,AM=2t,DN=t,NA=9-t.当NA=AM时,△MAN为等腰直角三角形,可得方程式,解可得答案。
(2)根据(1)中.在△NAC中,NA=9-t,NA边上的高DC=18,利用三角形的面积公式,可得S△NAC= =81-9t,S△AMC=9t.就可得出S四边形NAMC=81,因此在M、N两点移动的过程中,四边形NAMC的面积始终保持不变。
(3)根据题意,在矩形ABCD中,可分为①当NA:AB=AM:BC时,△NAP∽△ABC;②当NA:BC=AM:AB时,△MAN∽△ABC两种情况来研究,列出关系式,代入数据可得答案。
2.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD∥BC,交AB于点D,连接PQ分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t≥0).(1)直接用含t的代数式分别表示:QB=________,PD=________.(2)是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.并探究如何改变Q的速度(匀速运动),使四边形PDBQ在某一时刻为菱形,求点Q 的速度;(3)如图2,在整个运动过程中,求出线段PQ中点M所经过的路径长.【答案】(1)8-2t;(2)解:不存在在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,∴AB=10∵PD∥BC,∴△APD∽△ACB,∴,即,∴AD= ,∴BD=AB-AD=10- ,∵BQ∥DP,∴当BQ=DP时,四边形PDBQ是平行四边形,即8-2t= ,解得:t= .当t= 时,PD= ,BD=10- ,∴DP≠BD,∴▱PDBQ不能为菱形.设点Q的速度为每秒v个单位长度,则BQ=8-vt,PD= ,BD=10- ,要使四边形PDBQ为菱形,则PD=BD=BQ,当PD=BD时,即 =10- ,解得:t=当PD=BQ,t= 时,即,解得:v=当点Q的速度为每秒个单位长度时,经过秒,四边形PDBQ是菱形.(3)解:如图2,以C为原点,以AC所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系.依题意,可知0≤t≤4,当t=0时,点M1的坐标为(3,0),当t=4时点M2的坐标为(1,4).设直线M1M2的解析式为y=kx+b,∴,解得,∴直线M1M2的解析式为y=-2x+6.∵点Q(0,2t),P(6-t,0)∴在运动过程中,线段PQ中点M3的坐标(,t).把x= 代入y=-2x+6得y=-2× +6=t,∴点M3在直线M1M2上.过点M2作M2N⊥x轴于点N,则M2N=4,M1N=2.∴M1M2=2∴线段PQ中点M所经过的路径长为2 单位长度.【解析】【解答】(1)根据题意得:CQ=2t,PA=t,∴QB=8-2t,∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,PD∥BC,∴∠APD=90°,∴tanA= ,∴PD= .【分析】CQ=2t,PA=t,可得QB=8﹣2t,根据tanA=,可以表示PD;易得△APD∽△ACB,即可求得AD与BD的长,由BQ∥DP,可得当BQ=DP时,四边形PDBQ是平行四边形;求得此时DP与BD的长,由DP≠BD,可判定▱PDBQ不能为菱形;然后设点Q 的速度为每秒v个单位长度,由要使四边形PDBQ为菱形,则PD=BD PD=BQ,列方程即可求得答案.以C为原点,以AC所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,求出直线M1M2解析式,证明M3在直线M1M2上,利用勾股定理求出M1M2.3.已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2(a>0)相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴正半轴相交于点C,过点A作AD⊥x轴,垂足为D.(1)若∠AOB=60°,AB∥x轴,AB=2,求a的值;(2)若∠AOB=90°,点A的横坐标为﹣4,AC=4BC,求点B的坐标;(3)延长AD、BO相交于点E,求证:DE=CO.【答案】(1)解:如图1,∵抛物线y=ax2的对称轴是y轴,且AB∥x轴,∴A与B是对称点,O是抛物线的顶点,∴OA=OB,∵∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∵AB=2,AB⊥OC,∴AC=BC=1,∠BOC=30°,∴OC= ,∴A(-1,),把A(-1,)代入抛物线y=ax2(a>0)中得:a= ;(2)解:如图2,过B作BE⊥x轴于E,过A作AG⊥BE,交BE延长线于点G,交y轴于F,∵CF∥BG,∴,∵AC=4BC,∴ =4,∴AF=4FG,∵A的横坐标为-4,∴B的横坐标为1,∴A(-4,16a),B(1,a),∵∠AOB=90°,∴∠AOD+∠BOE=90°,∵∠AOD+∠DAO=90°,∴∠BOE=∠DAO,∵∠ADO=∠OEB=90°,∴△ADO∽△OEB,∴,∴,∴16a2=4,a=± ,∵a>0,∴a= ;∴B(1,);(3)解:如图3,设AC=nBC,由(2)同理可知:A的横坐标是B的横坐标的n倍,则设B(m,am2),则A(-mn,am2n2),∴AD=am2n2,过B作BF⊥x轴于F,∴DE∥BF,∴△BOF∽△EOD,∴,∴,∴,DE=am2n,∴,∵OC∥AE,∴△BCO∽△BAE,∴,∴,∴CO= =am2n,∴DE=CO.【解析】【分析】(1)抛物线y=ax2关于y轴对称,根据AB∥x轴,得出A与B是对称点,可知AC=BC=1,由∠AOB=60°,可证得△AOB是等边三角形,利用解直角三角形求出OC的长,就可得出点A的坐标,利用待定系数法就可求出a的值。
(2)过B作BE⊥x轴于E,过A作AG⊥BE,交BE延长线于点G,交y轴于F,根据平行线分线段成比例证出AF=4FG,根据点A的横坐标为﹣4,求出点B的横坐标为1,则A(-4,16a),B(1,a),再根据已知证明∠BOE=∠DAO,∠ADO=∠OEB,就可证明△ADO∽△OEB,得出对应边成比例,建立关于a的方程求解,再根据点B在第一象限,确定点B的坐标即可。
(3)根据(2)可知A的横坐标是B的横坐标的n倍,则设B(m,am2),则A(-mn,am2n2),得出AD的长,再证明△BOF∽△EOD,△BCO∽△BAE,得对应边成比例,证得CO=am2n,就可证得DE=CO。
4.如图,在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球.(1)球在地面上的影子是什么形状?(2)当把白炽灯向上平移时,影子的大小会怎样变化?(3)若白炽灯到球心的距离是1 m,到地面的距离是3 m,球的半径是0.2 m,则球在地面上影子的面积是多少?【答案】(1)解:球在地面上的影子的形状是圆.(2)解:当把白炽灯向上平移时,影子会变小.(3)解:由已知可作轴截面,如图所示:依题可得:OE=1 m,AE=0.2 m,OF=3 m,AB⊥OF于H,在Rt△OAE中,∴OA= = = (m),∵∠AOH=∠EOA,∠AHO=∠EAO=90°,∴△OAH∽△OEA,∴,∴OH= == (m),又∵∠OAE=∠AHE=90°,∠AEO=∠HEA,∴△OAE∽△AHE,∴ = ,∴AH= ==2625 (m).依题可得:△AHO∽△CFO,∴ AHCF=OHOF ,∴CF= AH⋅OFOH = 2625×32425=64 (m),∴S影子=π·CF2=π· (64)2 = 38 π=0.375π(m2).答:球在地面上影子的面积是0.375π m2.【解析】【分析】(1)球在灯光的正下方,根据中心投影的特点可得影子是圆.(2)根据中心投影的特点:在灯光下,离点光源近的物体它的影子短,离点光源远的物体它的影子长;所以白炽灯向上移时,阴影会逐渐变小.(3)作轴截面(如图)由相似三角形的判定得三组三角形相似,再根据相似三角形的性质对应边成比例,可求得阴影的半径,再根据面积公式即可求出面积.5.如图,在Rt△ABC中,,角平分线交BC于O,以OB为半径作⊙O.(1)判定直线AC是否是⊙O的切线,并说明理由;(2)连接AO交⊙O于点E,其延长线交⊙O于点D,,求的值; (3)在(2)的条件下,设的半径为3,求AC的长.【答案】(1)解:AC是⊙O的切线理由:,,作于,是的角平分线,,AC是⊙O的切线(2)解:连接,是⊙O的直径,,即 ..又 (同角) ,∽ ,(3)解:设在和中,由三角函数定义有:得:解之得:即的长为【解析】【分析】(1)利用角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等证得点O到AC的距离为半径长,即可证得AC与圆O相切;(2)先连接BE构造一个可以利用正切值的直角三角形,再证得∠1=∠D,从而证得两个三角形ABE与ABD相似,即可求得两个线段长的比值;(3)也可以应用三角形相似的判定与性质解题,其中AB的长度是利用勾股定理与(2)中AE与AB的比值求得的.6.正方形ABCD的边长为6cm,点E,M分别是线段BD,AD上的动点,连接AE并延长,交边BC于F,过M作MN⊥AF,垂足为H,交边AB于点N.(1)如图①,若点M与点D重合,求证:AF=MN;(2)如图②,若点M从点D出发,以1cm/s的速度沿DA向点A运动,同时点E从点B 出发,以 cm/s的速度沿BD向点D运动,运动时间为ts.①设BF=ycm,求y关于t的函数表达式;②当BN=2AN时,连接FN,求FN的长.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,∴AD=AB,∠DAN=∠FBA=90°.∵MN⊥AF,∴∠NAH+∠ANH=90°.∵∠NDA+∠ANH=90°,∴∠NAH=∠NDA,∴△ABF≌△MAN,∴AF=MN.(2)解:①∵四边形ABCD为正方形,∴AD∥BF,∴∠ADE=∠FBE.∵∠AED=∠BEF,∴△EBF∽△EDA,∴= .∵四边形ABCD为正方形,∴AD=DC=CB=6cm,∴BD=6 cm.∵点E从点B出发,以 cm/s的速度沿BD向点D运动,运动时间为ts,∴BE= tcm,DE=(6 - t)cm,∴=,∴y= .②∵四边形ABCD为正方形,∴∠MAN=∠FBA=90°.∵MN⊥AF,∴∠NAH+∠ANH=90°.∵∠NMA+∠ANH=90°,∴∠NAH=∠NMA.∴△ABF∽△MAN,∴= .∵BN=2AN,AB=6cm,∴AN=2cm.∴=,∴t=2,∴BF==3(cm).又∵BN=4cm,∴FN==5(cm).【解析】【分析】(1)根据正方形的性质得出AD=AB,∠DAN=∠FBA=90°.再根据同角的余角相等得出∠NAH=∠NDA,进而证出△ABF≌△MAN即可解答,(2)根据正方形的性质得出两角相等证出△EBF∽△EDA,得出BD的长度,利用△EBF∽△EDA得出比例式,得出y和t之间的函数解析式,据正方形的性质得出两角相等证出△ABF∽△MAN,得出比例式,进而解答.7.(1)问题发现:如图①,正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上,连接CF.①写出线段CF与DG的数量关系;②写出直线CF与DG所夹锐角的度数.(2)拓展探究:如图②,将正方形AEFG绕点A逆时针旋转,在旋转的过程中,(1)中的结论是否仍然成立,请利用图②进行说明.(3)问题解决如图③,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC=4,O为AC的中点.若点D在直线BC上运动,连接OE,则在点D的运动过程中,线段OE的长的最小值.(直接写出结果)【答案】(1)①CF= DG,②45(2)解:如图:①连接AC、AF,在正方形ABCD中,延长CF交DG与H点,∠CAD= ∠BCD=45 ,设AD=CD=a,易得AC= a= AD,同理在正方形AEFG中,∠FAG=45 ,AF= AG,∠CAD=∠FAG, ∠CAD-∠2=∠FAG-∠2,∠1=∠3又△CAF∽DAG,= , CF= DG;②由△CAF∽DAG,∠4=∠5,∠ACD=∠4+∠6=45 , ∠5+∠6=45 ,∠5+∠6+∠7=135 ,在△CHD中,∠CHD=180 -135 =45 ,(1)中的结论仍然成立(3)OE的最小值为 .【解析】【解答】(3)如图:由∠BAC=∠DAE=90 ,可得∠BAD=∠CAE,又AB=AC,AD=AE,可得△BAD≌△CAE,∠ACE=∠ABC=45 ,又∠ACB=45 , ∠BCE=90 ,即CE⊥BC,根据点到直线的距离垂线段最短,OE⊥CE时,OE最短,此时OE=CE,△OEC为等腰直角三角形,OC= AC=2,由等腰直角三角形性质易得,OE= ,OE的最小值为 .【分析】(1)①易得CF= DG;②45 ;(2)连接AC、AF,在正方形ABCD中,可得△CAF∽DAG, = , CF= DG,在△CHD中,∠CHD=180 -135 =45 ,(1)中的结论是否仍然成立;(3)OE⊥CE时,OE最短,此时OE=CE,△OEC为等腰直角三角形,OC= AC=2,可得OE的值.8.如图,△ABC内接于⊙O,∠CBG=∠A,CD为直径,OC与AB相交于点E,过点E作EF⊥BC,垂足为F,延长CD交GB的延长线于点P,连接BD.(1)求证:PG与⊙O相切;(2)若 = ,求的值;(3)在(2)的条件下,若⊙O的半径为8,PD=OD,求OE的长.【答案】(1)解:如图,连接OB,则OB=OD,∴∠BDC=∠DBO,∵∠BAC=∠BDC、∠BAC=∠GBC,∴∠GBC=∠BDO,∵CD是⊙O的直径,∴∠DBO+∠OBC=90°,∴∠GBC+∠OBC=90°,∴∠GBO=90°,∴PG与⊙O相切。