Chapter 2 Solutions2.1 最小采样频率为两倍的信号最大频率，即44.1kHz 。

2.2 (a)、由ω = 2πf = 20 rad/sec ，信号的频率为f =3.18 Hz 。

信号的奈奎斯特采样频率为6.37 Hz 。

(b)、35000π=ω，所以f = 833.3 Hz ，奈奎斯特采样频率为1666.7 Hz 。

(c)、73000π=ω，所以f = 214.3 Hz ，奈奎斯特采样频率为428.6 Hz 。

2.3 (a) 12580001f 1T S S ===μs (b)、最大还原频率为采样频率的一半，即4000kHz 。

2.4 ω = 4000 rad/sec ，所以f = 4000/(2π) = 2000/π Hz ，周期T = π/2000 sec 。

因此，5个周期为5π/2000 = π/400 sec 。

对于这个信号，奈奎斯特采样频率为2(2000/π) = 4000/π Hz 。

所以采样频率为f S = 4(4000/π) = 16000/π Hz 。

因此5个周期收集的采样点为(16000/π samples/sec )(π/400 sec) = 40。

2.5 ω = 2500π rad/sec ，所以f = 2500π/(2π) = 1250 Hz ，T = 1/1250 sec 。

因此，5个周期为5/1250 sec 。

对于这个信号，奈奎斯特采样频率为2(1250) = 2500 Hz ，所以采样频率为f S = 7/8(2500) = 2187.5 Hz 。

采样点数为(2187.5 点/sec)(5/1250 sec) = 8.75。

这意味着在模拟信号的五个周期内只有8个点被采样。

事实上，对于这个信号来说，在整数的模拟周期中，是不可能采到整数个点的。

2.62.7 信号搬移发生在kf S ± f 处，换句话说，频谱搬移发生在每个采样频率的整数倍0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 频率/kHz(b) 采样频率对于这个信号来说太低了，所以混叠发生了。

混叠图用虚线展示，最后的频谱用实线展示。

2.8 蜂窝电话信号是带宽受限的。

传输范围为30 kHz 。

最小采样频率至少为60kHz 。

在这道题中，60kHz 采样频率是足够的。

传输范围的基带搬移能被一个截止频率为2.9 (a)、信号在300Hz 处的镜像出现在3001000±-, 3000±, 3001000±,3002000± Hz ，......，即–1300, –700, 300, 700, 1300, 1700, 2300 Hz ，......。

这些信号只有一个位于奈奎斯特范围内（采样后能被恢复的范围，这道题为0到500Hz ）。

真实的信号频率为300Hz ，没有混叠发生。

(b)、信号的镜像出现在6001000±-, 6000±, 6001000±,6002000±Hz ，......，即–1600, –600, –400, 400, 600, 1400, 1600, 2600Hz ，......。

这些信号只有400Hz 落在奈奎斯特范围内。

这是混叠频率。

(c)、信号的镜像出现在13001000±-, 13000±, 13001000±,13002000±Hz ，......，即–2300, –1300, –300, 300, 700, 1300, 2300, 3300Hz ，......。

这些信号只有300Hz 落在奈奎斯特范围内。

这是混叠频率。

(b)、带宽受限信号在50到200Hz 发生混叠。

频谱倒置发生在基带。

0 30 60 90 1202.11 8kHz 的采样频率允许奈奎斯特范围为0到4kHz 。

在采样之后，信号的频谱搬移发生在–24000 ± 25000, –16000 ± 25000, –8000 ± 25000, 0 ± 25000, 8000 ± 25000, 16000 ± 25000Hz......。

奈奎斯特范围内唯一的镜像点为1000Hz 。

这就是混叠频率。

2.12 最简单的方法是通过看这两个信号有相同的采样点来比较两者。

采样时刻由nT S2.13 ± 0.2 MHz ，目标的实际频率为900.2MHz 。

2.14 车轮每转一圈，轮胎走过πd = .635π = 1.995 m 。

自行车速为15 km/h，即15000/3600 = 4.17 m/sec 。

因此，自行车每个轮子以cycles/sec 09.2m/cycle1.995m/sec17.4=的频率往复出现。

根据奈奎斯特采样定理，每个周期至少有两个采样点。

所以采样频率应为4.18 samples/sec 。

这能通过每100s 418次快照完成。

2.15 当信号以600Hz 的频率采样，正弦波频率的镜像出现在采样频率整数倍的两边。

由于混叠频率为150Hz 。

镜像出现在0 ± 150, 600 ± 150, 1200 ± 150Hz......。

只有150、450、750Hz 在1kHz 以下。

当采样频率为550Hz 时，混叠频率为200Hz ，所以镜像出现在0 ± 50, 550 ± 200, 1100 ± 200Hz......。

只有200、350、750和900Hz 处在1kHz 以下。

与两者都一致的正弦波频率为750Hz 。

2.16 模拟电压范围为6V 。

(a) 量化步长为6/24 = 375 mV (b) 量化步长为6/28 = 23.44 mV (c) 量化步长为6/216 = 91.55 μV 2.17 (a) 28 = 256 (b) 210 = 1024 (c) 212 = 4096 2.18 量化映射一个无限模拟信号等级到一个有限数字信号等级，量化程度由使用的数位来决定。

对于任意有限数位，误差一定会出现，因为量化步长的大小是非零的。

下表标书了量化方法。

底端范围是步长的一半，顶端范围是步长的1.5倍。

所有其2.21量化值0111011001010100001100100001000011111110110111001011101010011000数字编码(a) 24.1 dB (b) 48.2 dB (c) 96.3 dB 2.23 动态范围为20 log (2N ) = 60.2 dB ，由此可以得出2N = 1023.29。

N 的值最靠近10，所以N 取10。

2.24 范围 = R, 量化步长 = QR = 1 V0.5Q = 0.1 V 因此, Q = 0.2 VR/Q = 2N = 5两个量化位(N = 2)不满足需求。

至少需要三个量化位(N=3)。

2.25 比特率=B bits/sample *f samples/sec=16*8000=128kbps 2.26 中间范围最大量化误差是量化步长Q 的一半。

对于范围R ，位数N 来说，步长为R/2N 因此。

将会保持量化误差在满意范围内。

消去R 然后解出N 为02.021N ≤，即502N ≥。

N 满足关系的最小值为N=6。

因此，最小比特率为Nf S = 6(16) = 96 kbps 。

2.27对于编码.2.28 抗镜像滤波器从零阶保持信号中移除了尖峰。

这样做之后，所有的奈奎斯特范围外的频率都被移除了。

但是滤波器引起了一个附加时延。

Chapter 3 Solutions3.1 (a) (i) x[0] = 3(ii) x[3] = 5(iii) x[–1] = 2(b) (i)(ii) x[n+1]3.2 冲激函数除了n=0处之外都是0(a) δ[–4] = 0(b) δ[0] = 1(c) δ[2] = 03.3 (a)、这个函数是冲激函数关于纵轴的镜像，没有其他改变。

(b) 这个函数是由冲激函数向右移两个单位得到，然后将它的振幅扩大一倍。

(c)3.4 阶跃函数对于n<0部分为0，其他部分为1。

(a) u[–3] = 0 (b) u[0] = 1 (c) u[2] = 13.5 (a) (b) (c) x[n] = 2u[–n]x[n]n(d)(e)3.6 (a)(b) x[n]=u[n]-u[n-2]3.7 (a)、这个信号是移动的阶跃函数之和。

每个增加一单位振幅。

(b)、这个信号一系列振幅增加的冲激信号之和。

3.8 x[n] = (u[n] – u[n–2]) + (u[n–5] – u[n–7]) + (u[n–10] – u[n–12])3.9 x[n] = 2δ[n] – 3δ[n –1] + δ[n –2] – δ[n –3] + 3δ[n –4] 3.10 (a)x[n] = δ[n –3] + δ[n –4] + δ[n –5] + δ[n –6] – δ[n –7] – δ[n –8] – δ[n –9] – δ[n –10] – δ[n –11] (b) x[n] = u[n –3] – 2u[n –7] + u[n –12] 3.11 x[n] = u[n] + 2u[n –4] 3.123.13 这个信号包括1, 0.5, 0.25,0.125,......。

这些能被0.5n 函数概值括，其中每个值是一个冲激信号的振幅。

这个信号也能表示成 ∑=-δ=0k k ]k n [)5.0(]n [x = δ[n] + 0.5δ[n –1] + 0.25δ[n –2] + 0.125δ[n –3] + …3.14(a) 利用欧拉公式 ⎪⎭⎫⎝⎛π-⎪⎭⎫ ⎝⎛π==π-4n sin j 4n cos e]n [x 4nj(b) 由(a)可知, 4π=Ω. 因此, 18422=ππ=Ωπ. 数字周期为8个采样点。

3.15 (a) ⎪⎫⎛π-⎪⎫ ⎛π==π-n sin j n cos e ]n [x 3n j(b)、复数的模式实部和虚部的平方和再开根号。

(a)中最后一列展示了3n j e π- = 1，这对所有的n 都成立。

3.16 模拟信号的频率为f = ω/2π = 200/2π Hz 。

采样频率为f S = 1/T S = 1/(25x10–3) = 40 Hz 。

数字频率为Ω = 2πf/f S = 200/40 = 5 rads 。

数字信号为x[n] = 5sin(n Ω) = 5sin(5n)。

3.17 检查每个函数的2π/Ω。