数学高考《平面向量》复习资料一、选择题1．已知A ，B ，C 是抛物线24y x =上不同的三点，且//AB y 轴，90ACB ∠=︒，点C在AB 边上的射影为D ，则CD =（ ） A ．4 B ．22C ．2D ．2【答案】A 【解析】 【分析】画出图像，设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12y y >， 由90ACB ∠=︒可求221216y y -=，结合221244y y CD =-即可求解 【详解】如图：设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12y y >， 由90ACB ∠=︒可得0CA CB ⋅=u u u r u u u r ，222212121212,,,44y y y y CA y y CB y y ⎛⎫⎛⎫--=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，()222221212004y y CA CB y y ⎛⎫-⋅=⇔--= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，即()()222122212016y y y y ---= 解得221216y y -=（0舍去），所以222212124444y y y y CD -=-==故选：A 【点睛】本题考查抛物线的几何性质与向量的综合应用，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题2．已知5MN a b =+u u u u rr r，28NP a b =-+u u u rrr，3()PQ a b =-u u u rrr，则（ ）A ．,,M N P 三点共线B ．,,M N Q 三点共线C ．,,N P Q 三点共线D ．,,M P Q 三点共线【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量共线定理进行判断即可. 【详解】因为28NP a b =-+u u u r r r ,3()PQ a b =-u u u r r r所以()2835NQ NP PQ a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r ,因为5MN a b =+u u u u r rr ,所以MN NQ =u u u u r u u u r由平面向量共线定理可知,MN u u u u r 与NQ uuur 为共线向量,又因为MN u u u u r 与NQ uuur 有公共点N ,所以,,M N Q 三点共线.故选: B 【点睛】本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.3．在ABC V 中，312AB AC ==，D 是AC 的中点，BD u u u r 在AC u u ur 方向上的投影为4-，则向量BA u u u r 与AC u u ur 的夹角为（ ）A ．45°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】C 【解析】 【分析】设BDC α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角为θ，BD u u u r 在AC u u u r方向上的投影为cos =4BD α-u u u r，利用线性代换并结合向量夹角公式即可求出夹角．【详解】312AB AC ==，D 是AC 的中点，则4AC =，2AD DC ==， 向量BD u u u r 在AC u u u r方向上的投影为4-， 设BDA α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r的夹角为θ，则cos =4BD α-u u u r，∴()cos ===BD DA AC BA AC BD AC DA ACBA AC BA AC BA ACθ+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()cos cos180444211===1242BD AC DA AC AB ACα⋅+⋅⨯+-⨯-⨯︒⨯⋅-u u u u u r u u u r u u u u r u u u ru ur r u， 故夹角为120°， 故选：C . 【点睛】本题考查向量的投影，利用数量积求两个向量的夹角，属于中等题.4．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u v u u u v（）A ．4B ．6C ．23D ．43【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果． 【详解】 如图所示，菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，∴120C ∠=︒，∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=， ∴23BD =30BDC ∠=︒，∴|||3302|326BD CD BD CD cos =⨯⨯︒==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r， 故选B ． 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．5．延长线段AB 到点C ，使得2AB BC =u u u r u u u r ，O AB ∉，2OD OA =u u u v u u u v，则（ ）A ．1263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u vB ．5263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u vC ．5163BD OA OC =-u u u v u u u v u u u vD ．1163BD OA OC =+u u u v u u u v u u u v【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加法、减法的几何意义，即可得答案；【详解】Q BD OD OB =-u u u v u u u v u u u v ，()22123333OB OA AC OA OC OA OA OC =+=+-=+u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，12OD OA =u u u v u u u v ，∴1263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v ，故选：A. 【点睛】本题考查向量的线性运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.6．在ABC ∆中，若点D 满足3CD DB =u u u r u u u r ，点M 为线段AC 中点，则MD =u u u u r（ ）A ．3144AB AC -u u ur u u u r B ．1136AB AC -u u u r u u u rC ．2133AB AC -u u u r u u u rD ．3144AB AC +u u ur u u u r【答案】A 【解析】 【分析】根据MD MA AB BD =++u u u r u u u u u u r u r u u u r，化简得到答案. 【详解】 ()11312444MD MA AB BD AC AB AC AB AB AC =++=-++-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u uu u u u r r u u u r .故选：A . 【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.7．已知向量,a b r r 满足||a =r ||4=r b ，且()4a b b +⋅=r r r，则a r 与b r的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】D 【解析】 【分析】由()4a b b +⋅=r r r ，求得12a b ⋅=-r r ，再结合向量的夹角公式，求得cos ,a b 〈〉=r r 可求得向量a r 与b r的夹角．【详解】由题意，向量,a b r r 满足||a =r||4=r b ，因为()4a b b +⋅=r r r，可得2164a b b a b ⋅+=⋅+=r r r r r，解得12a b ⋅=-r r，所以cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉===r rr r r r又因a r 与b r 的夹角[0,]π∈，所以a r 与b r 的夹角为56π. 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式，以及向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力．8．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r方向上的投影为( )A ．165-B ．165C ．1613-D ．1613【答案】C 【解析】 【分析】先计算出16a b r r⋅=-，再求出b r ，代入向量a r 在b r 方向上的投影a b b⋅r rr 可得【详解】()4,3a =r Q ，()5,12b =-r，4531216a b ⋅=⨯-⨯=-r r，则向量a r 在b r方向上的投影为1613a b b⋅-=r rr ，故选：C. 【点睛】本题考查平面向量的数量积投影的知识点. 若,a b r r的夹角为θ，向量a r 在b r 方向上的投影为cos a θ⋅r 或a b b⋅r rr9．已知P 为边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，则PC uuu r ()PB PD +⋅u u ur u u u r 的最小值为（ ） A ．1- B ．3-C ．12-D ．32-【答案】A 【解析】【分析】建立坐标系，写出各点坐标，表示出对应的向量坐标，代入数量积整理后即可求解． 【详解】建立如图所示坐标系，设(,)P x y ，则(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)A B C D ，所以(2,2),(2,)(,2)(22,22)PC x y PB PD x y x y x y =--+=--+--=--u u u r u u u r u u u r，故223131()(2)(22)(2)(22)222222PC PB PD x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅+=--+--=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r223322122x y ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当32x y ==时，PC uuu r ()PB PD +⋅u u u r u u u r 的最小值为1-.故选：A ． 【点睛】本题考查利用坐标法求向量数量积的最值问题，涉及到向量的坐标运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.10．设x ，y 满足102024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m的最小值为（ ） A ．125B ．125-C ．32D ．32-【答案】B 【解析】 【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r，由a b ⊥r r得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴416122555m y x =-=-=-， 故选：B.【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．11．已知向量(1,2)a =v ，(3,4)b =-v ，则a v 在b v方向上的投影为A 13B ．22C ．1D ．655【答案】C 【解析】 【分析】根据a v在b v方向上的投影定义求解. 【详解】a v 在b v 方向上的投影为(1,2)(3,4)381(3,4)5a b b⋅⋅--+===-rr r ， 选C. 【点睛】本题考查a v在b v方向上的投影定义，考查基本求解能力.12．已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b +=>>的离心率为32，过右焦点F 且斜率为()0k k >的直线与T 相交于A ，B 两点，若3AF FB =uu u r uu r，则k =（ ）A ．2 BCD ．1【答案】C 【解析】 【分析】由2e =可得a =，b =，可设椭圆的方程为222334x y c +=，()()1122,,,A x y B x y ，并不妨设B 在x 轴上方，由3AF FB =uu u r uu r得到12123430x x c y y +=⎧⎨+=⎩，再由22211334x y c +=，22222334x y c +=得到A 、B 两点的坐标，利用两点的斜率公式计算即可. 【详解】因为c e a ===，所以2a b =，所以a =，b =，则椭圆方程22221x y a b+=变为222334x y c +=. 设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设B 在x 轴上方，则210,0y y ><，又3AF FB =uu u r uu r，所以()()1122,3,c x y x c y --=-，所以()121233c x x c y y ⎧-=-⎨-=⎩，12123430x x cy y +=⎧⎨+=⎩因为A ，B 在椭圆上，所以22211334x y c +=，① 22222334x y c +=②. 由①—9×②，得2121212123(3)(3)3(3)(3)84x x x x y y y y c +-++-=-，所以21234(3)84c x x c ⨯-=-，所以12833x x c -=-， 所以123x c =，2109x c =，从而13y =-，29y c =所以2(,)33A c -，10(,)99B c c，故9102393c k c c +==- 故选：C. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，当然本题也可以利用根与系数的关系来解决，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1=a n +a (n ∈N *，a 为常数)，若平面内的三个不共线的非零向量OAOB OC u u u r u u u r u u u r，，满足10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，A ，B ，C 三点共线且该直线不过O 点，则S 2010等于（ ） A ．1005 B ．1006C ．2010D ．2012【答案】A 【解析】 【分析】根据a n +1=a n +a ，可判断数列{a n }为等差数列，而根据10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r，及三点A ，B ，C 共线即可得出a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值. 【详解】由a n +1=a n +a ，得，a n +1﹣a n =a ； ∴{a n }为等差数列；由10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，所以A ，B ，C 三点共线； ∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1， ∴S 2010()12010201020101100522a a +⨯===. 故选：A. 【点睛】本题主要考查等差数列的定义，其前n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.14．如图，两个全等的直角边长分别为1,3的直角三角形拼在一起，若AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+等于（ ）A ．333-+ B ．333+ C 31 D 31+【答案】B【解析】 【分析】建立坐标系，求出D 点坐标，从而得出λ，μ的值． 【详解】解：1AC =Q ，3AB =，30ABC ∴∠=︒，60ACB ∠=︒，以AB ，AC 为坐标轴建立坐标系，则13,12D ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭． ()3,0AB =u u u r，()0,1AC =uu u r ，∴13,12AD ⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭u u u r． Q AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，∴132312λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴331λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，231λμ∴+=+． 故选：B ．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．15．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =u u u v（ ）A ．3155AB AC +u u uv u u u v B ．2155AB AC +u u uv u u u vC ．481515AB AC +u u u v u u u v D ．841515AB AC +u u u v u u u v 【答案】D【解析】【分析】 设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得cos DAE ∠，由此得到45AF AD =u u u r u u u r ，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将45AF AD =u u u r u u u r 表示为以,AB AC u u u r u u u r 为基底来表示的形式. 【详解】设6BC =，则2AB AC BD DE EC =====，AD AE ===，101044cos 2105DAE +-∠==⨯， 所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =u u u r u u u r . 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133AB AC =+u u u r u u u r ， 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：D【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.16．下列命题为真命题的个数是（ ） ①{x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数；②若0a b ⋅=r r ，则0a =r r 或0b =r r；③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题； ④函数()x xe ef x x--=是偶函数. A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论.【详解】对于①中，当2x =时，22x =为有理数，故①错误； 对于②中，若0a b ⋅=r r ，可以有a b ⊥r r ，不一定要0a =r r 或0b =r r ，故②错误；对于③中，命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题，其逆否命题为真命题，故③正确；对于④中，()()x x x xe e e ef x f x x x-----===-， 且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，定义域关于原点对称，所以函数()x xe ef x x--=是偶函数，故④正确. 综上，真命题的个数是2.故选：B.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.17．如图，向量a b -r r 等于A ．1224e e --u r u u rB ．1242e e --u r u u rC ．123e e -r u u rD ．123e e -+r u u r 【答案】D【解析】【分析】【详解】 由向量减法的运算法则可得123a e b e -=-+r r r u u r ，18．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅u u u u r u u u r的最大值为（ ）A ．714-B ．24-C ．514-D ．30-【答案】A【解析】【分析】依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE BE =求出E 的坐标，求出边CD 所在直线的方程，设(,M x +，利用坐标表示,AM ME u u u u r u u u r ，根据二次函数的性质求出最大值.【详解】解：依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，()0,0A ∴，(B ，(C ，()5,0D因为点E 在线段CB 的延长线上，设(0E x ，01x < AE BE =Q()222001x x +=-解得01x =-(E ∴-(C Q ，()5,0DCD ∴所在直线的方程为y =+因为点M 在边CD 所在直线上，故设(,M x + (,AM x ∴=+u u u u r(1E x M -=--u u u r()1AM ME x x -∴⋅=--++u u u u r u u u r 242660x x =-+-242660x x =-+-23714144x ⎛⎫= ⎪⎭---⎝当134x =时()max 714AM ME ⋅=-u u u u r u u u r 故选：A【点睛】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.19．已知,A B 是圆22:16O x y +=的两个动点，524,33AB OC OA OB ==-u u u v u u u v u u u v ，若M 分别是线段AB 的中点，则·OC OM =u u u v u u u u v （ ） A ．843+B ．843-C ．12 D ．4【答案】C【解析】【分析】【详解】 由题意1122OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ，则2252115113322632OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又圆的半径为4，4AB =uu u r ，则,OA OB u u u r u u u r 两向量的夹角为π3．则8OA OB ⋅=u u u v u u u v ，2216OA OB ==u u u v u u u v ，所以12OC OM ⋅=u u u r u u u u r ．故本题答案选C ．点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.20．在四边形ABCD 中,若12DC AB =u u u r u u u r ,且|AD u u u r |=|BC uuu r |,则这个四边形是( )A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形【答案】C【解析】由12DC ABu u u r u u u r知DC∥AB,且|DC|=12|AB|,因此四边形ABCD是梯形.又因为|ADu u u r|=|BCuuu r|,所以四边形ABCD是等腰梯形.选C。