第六讲、直线和圆的方程四、 平面解析几何初步（一）直线与方程1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念及相互间的关系，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。
4.掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。
5.会求两直线的交点坐标。
6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
（二）圆与方程1.掌握圆的标准方程与一般方程。
2.能判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
4.初步了解用代数方法处理几何问题。
（三）空间直角坐标系1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置。
2.了解空间两点间的距离公式。
直线方程 1数轴上两点间距离公式：B x x AB -=2直角坐标平面内的两点间距离公式：22122121)()(y y x x P P -+-=3直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角 当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0° 可见，直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 4直线的斜率：倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即k =tan α（α≠90°）倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，+∞） 5直线的方向向量：设F 1（x 1，y 1）、F 2（x 2，y 2）是直线上不同的两点，则向量21F F =（x 2－x 1，y 2－y 1）称为直线的方向向量向量121x x -21F F =（1，1212x x y y --）=（1，k ）也是该直线的方向向量，k 是直线的斜率特别地，垂直于x 轴的直线的一个方向向量为a ＝(0,1) 6求直线斜率的方法①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k =tan α②公式法：已知直线过两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），且x 1≠x 2，则斜率k 1212x x y y -- ③方向向量法：若a =（m ，n ）为直线的方向向量，则直线的斜率k m n 平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率对于直线上任意两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），当x 1=x 2时，直线斜率k 不存在，倾斜角α=90°；当x 1≠x 2时，直线斜率存在，是一实数，并且k ≥0时，α=arctan k ；k ＜0时，α=π+arctan k 7直线方程的五种形式点斜式：)(00x x k y y -=-， 斜截式：b kx y +=，两点式：121121x x x x y y y y --=--， 截距式：1=+by a x ，一般式：0=++C By Ax 两直线的位置关系1．特殊情况下的两直线平行与垂直．当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直2．斜率存在时两直线的平行与垂直：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠已知直线1l 、2l 的方程为1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A1l ∥2l 的充要条件是212121C C B B A A ≠= ⑵两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是1k 和2k ，则这两条直线垂直的充要条件是121-=k k ．已知直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，则1l ⊥2l ⇔02121=+B B A A ． 3直线1l 到2l 的角的定义及公式：直线1l 按逆时针方向旋转到与2l 重合时所转的角,叫做1l 到2l 的角 1l 到2l 的角θ：0°＜θ＜180°， 如果.2,1,012121πθ=-==+则即k k k k 如果0121≠+k k ，12121tan k k k k +-=θ 4．直线1l 与2l 的夹角定义及公式:1l 到2l 的角是1θ, 2l 到1l 的角是π-1θ,当1l 与2l 相交但不垂直时, 1θ和π-1θ仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角当直线1l ⊥2l 时,直线1l 与2l 的夹角是2π夹角α：0°＜α≤90° 如果.2,1,012121πα=-==+则即k k k k 如果0121≠+k k ，12121tan k k k k +-=α 5．两条直线是否相交的判断 两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 是否有惟一解 6．点到直线距离公式：点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200B A C By Ax d +++=7．两平行线间的距离公式已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ， 2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221B A C C d +-= 8 直线系方程:若两条直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A 有交点，则过1l 与2l 交点的直线系方程为)(111C y B x A ++＋0)(222=++C y B x A λ或)(222C y B x A +++0)(111=++C y B x A λ (λ为常数)简单的线性规划及实际应用 1二元一次不等式表示平面区域:在平面直角坐标系中，已知直线Ax +By +C =0，坐标平面内的点P （x 0，y 0）B ＞0时，①Ax 0+By 0+C ＞0，则点P （x 0，y 0）在直线的上方；②Ax 0+By 0+C ＜0，则点P （x 0，y 0）在直线的下方对于任意的二元一次不等式Ax +By +C ＞0（或＜0），无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数当B ＞0时，①Ax +By +C ＞0表示直线Ax +By +C =0上方的区域；②Ax +By +C ＜0表示直线Ax +By +C =0下方的区域 2线性规划: 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x 、y ； （2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数z =f （x ，y ）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系f （x ，y ）=t （t 为参数）；（6）观察图形，找到直线f （x ，y ）=t 在可行域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案曲线和方程1．平面解析几何研究的主要问题：根据已知条件求出表示平面曲线的方程；通过方程，研究平面曲线的性质2．“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程0),( y x f 的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．（完备性） 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线3求简单的曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）写出适合条件P 的点M 的集合；（3）用坐标表示条件P （M ），列出方程0),(=y x f ;（4）化方程0),(=y x f 为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 4由方程画曲线(图形)的步骤：①讨论曲线的对称性(关于x 轴、y 轴和原点)；②求截距：方程组，的解是曲线与轴交点的坐标；f x y y ()==⎧⎨⎩00x方程组，的解是曲线与轴交点的坐标；f x y x ()==⎧⎨⎩00y③讨论曲线的范围；④列表、描点、画线．5．交点：求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组．6．曲线系方程：过两曲线f 1(x ，y)=0和f 2(x ，y)=0的交点的曲线系方程是f 1(x ，y)＋λf 2(x ，y)=0(λ∈R)． 求轨迹有直接法、定义法和参数法，最常使用的就是参数法圆的方程1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆． 2圆的标准方程圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+- 3圆的一般方程二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0（*）配方得（x +2D ）2+（y +2E ）24422F E D -+ 把方程)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x 其中，半径是2422F E D r -+=，圆心坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛--22E D ，叫做圆的一般方程（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：x 2、y 2项系数相等且不为零 没有xy 项（2）当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－2D ，－2E ）； 当D 2+E 2－4F ＜0时，方程（*）不表示任何图形（3）根据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程 4圆的参数方程①圆心在O （0，0），半径为r 的圆的参数方程是：cos ()sin x r y r ααα=⎧⎨=⎩是参数②圆心在点)(b a C ，，半径为r 的圆的参数方程是：⎩⎨⎧+=+=)(sin cos 是参数αααr b y r a x 在①中消去θ得x 2+y 2=r 2，在②中消去θ得（x －a ）2+（y －b ）2=r 2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程 5二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件若二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆，则有A =C ≠0，B =0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分在A =C ≠0，B =0时，二元二次方程化为x 2+y 2+A D x +A E y +AF =0， 仅当D 2+E 2－4AF ＞0时表示圆 故Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：①A =C ≠0，②B =0，③D 2+E 2－4AF ＞0 6 线段AB 为直径的圆的方程： 若),(),(2211y x B y x A ，，则以线段AB 为直径的圆的方程是0))(())((2121=--+--y y y y x x x x 7经过两个圆交点的圆系方程：经过011122=++++F y E x D y x ，022222=++++F y E x D y x 的交点的圆系方程是：0)(2222211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ 在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程 8 经过直线与圆交点的圆系方程： 经过直线0=++C By Ax l ：与圆022=++++F Ey Dx y x 的交点的圆系方程是：0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ 9确定圆需三个独立的条件（1）标准方程： 222)()(r b y a x =-+-， 半径圆心，----r b a ),(（2）一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，（)0422>-+F E D ,)2,2(圆心----E D 2422F E D r -+= 对称问题 1点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题设P （x 0，y 0），对称中心为A （a ，b ），则P 关于A 的对称点为P ′（2a －x 0，2b －y 0） 2点关于直线成轴对称问题 由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标一般情形如下：设点P （x 0，y 0）关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ′，y ′），则有0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩，可求出x ′、y ′ 特殊地，点P （x 0，y 0）关于直线x =a 的对称点为P ′（2a －x 0，y 0）；点P （x 0，y 0）关于直线y =b 的对称点为P ′（x 0，2b －y 0） 3曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题：一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）一般结论如下：（1）曲线f （x ，y ）=0关于已知点A （a ，b ）的对称曲线的方程是f （2a －x ，2b －y ）=0（2）曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线的求法：设曲线f （x ，y ）=0上任意一点为P （x 0，y 0），P 点关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（y ，x ），则由（2）知，P 与P ′的坐标满足0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩从中解出x 0、y 0， 代入已知曲线f （x ，y ）=0，应有f （x 0，y 0）=0利用坐标代换法就可求出曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线方程直线与圆、圆与圆的位置关系 1研究圆与直线的位置关系最常用的方法：①判别式法；②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。