圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系[典例] (2021·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k(k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB|＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．[解] (1)由题意得F(1,0)，l 的方程为y ＝k(x －1)(k ＞0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由⎩⎨⎧ y ＝k x －1，y2＝4x 得k2x2－(2k2＋4)x ＋k2＝0.Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝2k2＋4k2. 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4k2＋4k2. 由题设知4k2＋4k2＝8， 解得k ＝1或k ＝－1(舍去)．因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则⎩⎨⎧ y0＝－x0＋5，x0＋12＝y0－x0＋122＋16. 解得⎩⎨⎧ x0＝3，y0＝2或⎩⎨⎧ x0＝11，y0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.[方法技巧]1．确定圆的方程必须有3个独立条件不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a ，b ，r 或D ，E ，F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a ，b ，r(或D ，E ，F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程．2．几何法在圆中的应用在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．[针对训练]1．(2019·湖北名校摸底)过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y －2＝0上的圆的方程是( )A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4解析：选C 由题知直线AB的垂直平分线为y＝x，直线y＝x与x＋y －2＝0的交点是(1,1)，所以圆的圆心为(1,1)，所以圆的半径为2，故圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4.2．(2019·黑龙江伊春三校联考)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( ) A．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1解析：选B 圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆心C1为(－1,1)，半径为1.易知点C1(－1,1)关于直线x－y－1＝0对称的点为C2，设C2(a，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧ b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－2，所以C2(2，－2)，所以圆C2的圆心为C2(2，－2)，半径为1，所以圆C2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.故选B.直线与圆位置关系的判断[典例感悟]1．(2019·西安模拟)直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R)与圆x2＋y2－2x ＋2y －7＝0的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B 法一：x2＋y2－2x ＋2y －7＝0化为圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9，故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝3，圆心到直线的距离d ＝|a ＋1－a －1＋2a|a ＋12＋a －12＝|2a ＋2|2a2＋2.再根据r2－d2＝9－4a2＋8a ＋42a2＋2＝7a2－4a ＋7a2＋1.而7a2－4a ＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180＜0，故有r2＞d2，即d ＜r ，故直线与圆相交．法二：由(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R)整理得x －y ＋a(x ＋y ＋2)＝0，则由⎩⎨⎧ x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，解得x ＝－1，y ＝－1，即直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R)过定点(－1，－1)，又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5＜0，则点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x ＋2y －7＝0的内部，故直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R)与圆x2＋y2－2x ＋2y －7＝0相交．2．(2019·湖北六市联考)将直线x ＋y －1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l ，则直线l 与圆(x ＋3)2＋y2＝4的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切解析：选B 依题意得，直线l 的倾斜角为150°，所以直线l 的方程是y ＝tan 150°(x －1)＝－33(x －1)，即x ＋3y －1＝0，圆心(－3,0)到直线l 的距离d ＝|－3－1|3＋1＝2，故直线l 与圆相切． 3．直线y ＝－33x ＋m 与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( )A ．(3，2)B ．(3，3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，233 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233 解析：选D 当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m ＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d ＝|m|1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝1，解得m ＝233(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1＜m ＜233.[方法技巧]直线与圆位置关系问题的求解策略(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．(2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式进行解决.切线问题[典例] 已知点P(2＋1,2－2)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过点P的圆C的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．[解] (1)由题意得圆心C(1,2)，半径长r＝2.因为(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，所以点P 在圆C 上． 又kPC ＝2－2－22＋1－1＝－1，所以切线的斜率k ＝－1kPC ＝1. 所以过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝1×[x －(2＋1)]，即x －y ＋1－22＝0. (2)因为(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，所以点M 在圆C 外部．当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3，又点C(1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ，即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k(x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k|k2＋1＝r ＝2， 解得k ＝34.所以切线方程为y －1＝34(x －3)， 即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. 因为|MC|＝3－12＋1－22＝5，所以过点M的圆C的切线长为|MC|2－r2＝5－4＝1.[方法技巧]求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程2方法[提醒] 当点(x0，y0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况．[针对训练]1．(2019·陕西高三质检)已知圆C：x2＋y2－4x－6y－3＝0，点M(－2,0)是圆C外一点，则过点M的圆的切线方程是( )A．x＋2＝0,7x－24y＋14＝0B．y＋2＝0,7x＋24y＋14＝0C．x＋2＝0,7x＋24y＋14＝0D．y＋2＝0,7x－24y＋14＝0解析：选C 将圆C的方程转化为(x－2)2＋(y－3)2＝16，则其圆心为(2,3)，半径为4，显然x ＋2＝0是满足条件的一条切线，又圆心(2,3)到直线7x ＋24y ＋14＝0的距离d ＝14＋72＋1449＋242＝4，所以选项C 满足，故选C.2．(2019·沈阳市高三质量监测)已知直线l ：y ＝k(x ＋3)和圆C ：x2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( )A ．0 B. 3C.33或0 D.3或0解析：选D 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离d ＝|－1＋3k|1＋k2＝1，|－1＋3k|＝1＋k2，解得k ＝0或k ＝3，故选D.弦长问题[典例] 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x2＋y2－4x ＝0及点A(－1,0)，B(1，2)．(1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，|MN|＝|AB|，求直线l 的方程；(2)在圆C 上是否存在点P ，使得|PA2|＋|PB2|＝12？若存在，求出点P 的个数；若不存在，说明理由．[解] (1)圆C 的标准方程为(x －2)2＋y2＝4，所以圆心C(2,0)，半径为2.因为l ∥AB ，A(－1,0)，B(1,2)，所以直线l 的斜率为2－01－－1＝1， 设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－0＋m|2＝|2＋m|2. 因为|MN|＝|AB|＝22＋22＝22，|CM2|＝d2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN|22，所以4＝2＋m 22＋2， 解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.(2)假设圆C 上存在点P ，设P(x ，y)，则(x －2)2＋y2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，即x2＋y2－2y －3＝0，即x2＋(y －1)2＝4，因为|2－2|＜2－02＋0－12＜2＋2，所以圆(x －2)2＋y2＝4与圆x2＋(y －1)2＝4相交，所以存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，点P的个数为2.[方法技巧] 解决圆弦长问题的常用方法及结论几何法如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2r2－d2代数法若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝1＋k2·xA＋xB2－4xAxB＝1＋1k2·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|[针对训练]1．(2019·丽水模拟)若圆心在x轴上，半径为5的圆C位于y轴左侧，且被直线x＋2y＝0截得的弦长为4，则圆C的方程是( ) A．(x－5)2＋y2＝5 B．(x＋5)2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5解析：选B 设圆心为(a,0)(a＜0)，因为截得的弦长为4，所以弦心距为1，即|a＋2×0|12＋22＝1，得a＝－5，所以所求圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5.2．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x2＋y2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB|＝23，则圆C 的面积为________．解析：圆C ：x2＋y2－2ay －2＝0化为标准方程为x2＋(y －a)2＝a2＋2，所以圆心C(0，a)，半径r ＝a2＋2，因为|AB|＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a ，即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a|2＝|a|2，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a|22＝a2＋2，解得a2＝2， 所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.答案：4π圆与圆的位置关系[典例感悟]1．(2019·内蒙古赤峰模拟)圆O1：x2＋y2－2x ＝0和圆O2：x2＋y2－4y ＝0的位置关系是( )A ．相交B ．外切C ．相离D ．内切解析：选A 圆O1圆心坐标为O1(1,0)，半径r1＝1，圆O2圆心坐标为O2(0,2)，半径r2＝2，两圆心距|O1O2|＝1－02＋0－22＝5，因为2－1＜5＜2＋1，即r2－r1＜|O1O2|＜r1＋r2，所以圆O1与圆O2相交，故选A.2．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________.解析：方程x2＋y2＋2ay －6＝0与x2＋y2＝4.两式相减得2ay ＝2，则y ＝1a. 由题意知，22－32＝1a，解得a ＝1. 答案：13．已知M ，N 是圆A ：x2＋y2－2x ＝0与圆B ：x2＋y2＋2x －4y ＝0的公共点，则△BMN 的面积为________． 解析：由题意可知，联立⎩⎨⎧ x2＋y2－2x ＝0，x2＋y2＋2x －4y ＝0，可得直线MN 的方程为x －y ＝0，所以B(－1,2)到直线MN 的距离为|－1－2|2＝322，线段MN 的长度为252－⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＝2，所以△BMN 的面积为12×322×2＝32.答案：32[方法技巧]圆与圆位置关系问题的解题策略(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．[提醒] 圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．。