2020-2021学年河北大名县第一中学高二上学期12月考数学（理）试题考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.做答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3.做答第Ⅱ卷时，请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持答题卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准用涂改液、修正带、刮纸刀.第I 卷（选择题 共60分）一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1“1x >”是“12log (2)0x +<”的（ ）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件2．在所给的四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0中，能推出1a <1b成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12B.π6C.π4D.π34.命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ）A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n >B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n >D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.746.已知122,,,8a a --成等差数列，1232,,,,8b b b --成等比数列，则212a ab -等于（ ） （A ）14 （B ）12 （C ）12- （D ）12或12- 7.已知1122log log a b <，则下列不等式一定成立的是（ ）（A ）11()()43a b < （B ）11a b> （C ）ln()0a b -> （D ）31a b -<8已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为( )（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -=9.设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q =>10在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ， c ，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 的值为( )A.14 B.34 C.24D.2311若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y＝1，并且x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(4，＋∞)B ．(－∞，－4)∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)12．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一个点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

将答案填在题后的横线上。

）13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．14 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．15 过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．16.如下图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{}n a （n *∈N ）的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则201320142015a a a ++= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）17( 本小题满分10分)如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从M 点测得A 点的俯角30NMA ︒∠=,C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒已知山高200BC m =，求山高MN ．18( 本小题满分12分)在ABC ∆中，已知 60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.19( 本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x ＋2)|x －2|.(1)若不等式f (x )≤a 在[－3,1]上恒成立，求实数a 的取值范围； (2)解不等式f (x )>3x . 20( 本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n n S =+. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T . 21.( 本小题满分12分)已知抛物线21:2C y px =上一点()03M y ，到其焦点F 的距离为4；椭圆()2222210y x C a b a b+=>>：的离心率22e =，且过抛物线的焦点F .（I ）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（II ）过点F 的直线1l 交抛物线1C 于A 、B 两不同点，交y 轴于点N ，已知NA AF NB BF λμ==，，求证：λμ+为定值. 22( 本小题满分12分)已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>2，点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠都 在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得OQM ONQ∠=∠？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．2020-2021学年河北大名县第一中学高二上学期12月考数学（理）试题参考答案一 选择题 1B2解析：1a <1b 成立，即b －aab<0成立，逐个验证可得，①②④满足题意．答案：C3 D 解析：由已知及正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B ，因为sin B >0，所以sin A ＝32.又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以A ＝π3.4 D5 C 解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54. 6.B 因为122,,,8a a --成等差数列，所以218(2)23a a ----==-.又1232,,,,8b b b --成等比数列，所以2228(2)16,4b b =-⨯-==（舍去），24b =-，所以21221.42a ab --==- 7.A 由1122log log a b <得，0a b >>，所以111()()()443a b b <<.8 D9【答案】C p f ==()ln22a b a b q f ++==，11(()())ln ln 22r f a f b ab =+==，函数()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，因为2a b +>，所以()2a bf f +>，所以q p r >=，故选C ．10 B 解析：因为sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，所以sin 2B ＝sin A sin C ，由正弦定理得，b 2＝ac ，又c ＝2a ，故cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4a 2＋a 2－2a 24a 2＝34，故选B.11 D 解析：x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝2＋4y x ＋x y ＋2≥8，当且仅当4y x ＝x y ，即4y 2＝x 2时等号成立．x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则m 2＋2m <8，m 2＋2m －8<0，解得－4<m <2，故选D.12 B 解析：由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2，分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.二 填空题 13.5 ．14．115 .2216. 1007 11a =，21a =，31a =-，42a =，52a =，63a =，72a =-，84a =， ，这个数列的规律是奇数项为1,1,2,2,3,3,---偶数项为1,2,3,，故201320150a a +=，20141007a =，故2013201420151007a a a ++=．三 解答题17 在ABC ∆中, 45,90,200BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=2002002sin 45AC ∴==︒，在AMC ∆中，75,60,MAC MCA ∠=︒∠=︒45,AMC ∴∠=︒由正弦定理可得,sin sin AM ACACM AMC=∠∠即1002,sin 60sin 45AM =︒︒ 解得2003AM =,在Rt AMN ∆中sin MN AM MAN =⋅∠2003sin 60=⨯︒300()m =． 1819解析：(1)当x ∈[－3,1]时，f (x )＝(x ＋2)|x －2|＝(x ＋2)(2－x )＝－x 2＋4. ∵－3≤x ≤1，∴0≤x 2≤9. 于是－5≤－x 2＋4≤4.即函数f (x )在[－3,1]上的最大值等于4.∴要使不等式f (x )≤a 在[－3,1]上恒成立，实数a 的取值范围是[4，＋∞)． (2)不等式f (x )>3x ，即(x ＋2)|x －2|－3x >0.当x ≥2时，原不等式等价于x 2－4－3x >0， 解得x >4或x <－1. 又∵x ≥2，∴x >4.当x <2时，原不等式等价于4－x 2－3x >0， 即x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.满足x <2.综上可知，原不等式的解集为{x |x >4或－4<x <1}． 20所以1113T b ==当1n > 时，()()12112311323133n n n T b b b b n ---=++++=+⨯+⨯++-所以()()01231132313n n T n --=+⨯+⨯++-两式相减，得()()012122333133n nn T n ---=+++--⋅ ()11121313313n n n ----=+--⋅- 1363623nn +=-⨯ 所以13631243n nn T +=+⨯ 经检验，1n = 时也适合，综上可得：13631243n nn T +=+⨯21：（Ⅰ）抛物线21:2C y px =上一点0(3,)M y 到其焦点F 的距离为4； 抛物线的准线为2px =-抛物线上点0(3,)M y 到其焦点F 的距离||MF 等于到准线的距离d 所以342pd =+=,所以2p = 抛物线1C 的方程为24y x =椭圆22222:1(0)y x C a b a b +=>>的离心率2e =,且过抛物线的焦点(1,0)F所以1b =，22222112c a e a a-===,解得22a =所以椭圆的标准方程为22121y x += (Ⅱ)直线1l 的斜率必存在,设为k ,设直线l 与椭圆2C 交于1122(,),(,)A x y B x y 则直线l 的方程为(1)y k x =-, (0,)N k -联立方程组:24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩所以2222(24)0k x k x k -++=216160k ∆=+>,所以212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩ (*)由,NA AF NB BF λμ==得:1122(1),(1)x x x x λλ-=-= 得: 1212,11x xx x λμ==-- 所以121221121212121212(1)(1)211(1)(1)1()x x x x x x x x x x x x x x x x x x λμ-+-+-+=+==-----++将(*)代入上式,得12121212211()x x x x x x x x λμ+-+==--++ 22。