1.4.3正切函数的性质与图象
教学目的：
知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质； 能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法；
教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象； 教学难点：正切函数的性质。

教学过程：
一、复习引入：
问题：1、正弦曲线是怎样画的？ 2、练习：画出下列各角的正切线：
．
下面我们来作正切函数的图象． 二、讲解新课：
1．正切函数tan y x =的定义域是什么？ ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠
z k k x x ,2|ππ 2．正切函数是不是周期函数？ ()tan tan ,,2x x x R x k k z πππ⎛⎫
+=∈≠+∈ ⎪⎝⎭
且，
∴π是tan ,,2y x x R x k k z π
π⎛
⎫
=∈≠+
∈ ⎪⎝
⎭
且的一个周期。

π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。

3．作tan y x =，x ∈⎪⎭⎫
⎝
⎛-2,2ππ的图象
说明： （1）正切函数的最小正周期不能比π小，正切函数的最小正周期是π；
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠
ππ
2
的图象，称“正切曲线”。

（3）正切曲线是由被相互平行的直线()2
x k k Z π=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。

4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≠
z k k x x ,2|ππ
； （2）值域：R 观察：当x 从小于()z k k ∈+2
π
π，2
π+π−→−k x 时，tan x −−
→+∞ 当x 从大于()z k k ∈+ππ
2
，ππ
k x +−→−
2
时，-∞−→−
x tan 。

（3）周期性：π=T ；
（4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数；
（5）单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增。

5.讲解范例：
例1比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-
413tan π与⎪⎭
⎫
⎝⎛-517tan π的大小解：tan 413tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-
π 4π，52tan 5
17tan ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-
，⎪⎭
⎫
⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ在x y 内单
调递增， ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ
517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan
4tan
即 例2：求下列函数的周期： （1）3tan 5y x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
答：T π=。

（2）tan 36y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
答：3
T π
=。

说明：函数()()
tan 0,0y A x A ωϕω=+≠≠的周期T πω
=
．
例3：求函数⎪⎭⎫
⎝
⎛
-
=33tan πx y 的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性， 解：1、由233πππ+≠-k x 得1853ππ+≠k x ，所求定义域为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈+≠
∈z k k x R x x ,1853,|ππ且 y
2、值域为R ，周期3
π
=
T ，
3、在区间()z k k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛+-1853,183ππππ上是增函数。

思考1：你能判断它的奇偶性吗？ （是非奇非偶函数）， 练习1：求函数⎪⎭⎫
⎝⎛+=32
tan ππ
x y 的定义域、周期性、奇偶性、单调性。

略解：定义域：⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
∈+
≠∈z k k x R x x ,4|π
π且 值域：R 奇偶性：非奇非偶函数 单调性：在)4
,43(π
πππ+-
k k 上是增函数 思考2
：你能用图象求函数y =的定义域吗？
解：
由tan 0x ≥ 得
tan x ≥利用图象知，所求定义域为(),
k k k Z ππππ⎡
⎫++∈⎪⎢，
亦可利用单位圆求解。

四、小结：本节课学习了以下内容：
1.因为正切函数x y tan =的定义域是},2
,|{Z k k x R x x ∈+
≠∈π
π，所以它的图象被
, (2)
3
,2ππ
±±
=x 等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。

2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-π/2，π/2）的区间内的函数的图象，然后再将它沿x 轴向左或向右移动，每次移动的距离是π个单位，就可以得到整个正切函数的图象。