例1. 计算图示结构的频率和周期。
m EI
l /2
l /2
1
例2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。
H
1
m
1
V
l
A,E,I
E,I
E,A
l3
48 EI
48 EI ml 3
T 2
ml 3 48EI
例3.计算图示刚架的频率和周期。
m
6EI
EI1=
h2
I
Ih
12EI h3
6EI h2
H
1
m H
V
1
m
l/2
l/2
解：1）求δ
1
l3 48EI
m
l/2
l/2
3l/16
P=1
l/2
2
7l 3 768EI
5l/32
P=1
m
l/2
l/2
3
l3 192EI
1
1
m1
48EI ml3
21
E1Im1l622(2
l 2
77613m86l El3I2l
5l3 )
32
71l 3
7m68E3I
192EI ml3
据此可得：ω1‫ ׃‬ω2 ‫ ׃‬ω3= 1 ‫ ׃‬1.512 ‫ ׃‬2
i3
i2
i1
i3
k1
12i1 h12
2
k2
12i2 h22
2
k3
12i3 h32
2
i2
（柱并联）
2）计算楼顶点（侧移）柔度
i1
1 1 1 1
k k1 k2 k3
3）计算顶端侧移
P
P
1 k1
1 k2
1 k3
P
24
h12 i1
h22 i2
h32 i3
6
五、例题
m EI
l /2
l /2
mV
由截面平衡
1
6EI
k
k
24 EI h3
h2
12EI
h3
k m
24 EI mh 3
6EI h2
T 2 mh3
2EI 1
● 熟记几种简单情况的刚、柔度
δ 悬臂梁自由端：
1
l3
3EI
k
3EI l3
i
两端固支梁侧移刚度：
1 k
k
12EI l3
12i l2
一固一铰支梁的侧移刚度: （同悬臂梁）
据此可得：ω1 ‫ ׃‬ω2 ‫ ׃‬ω3= 1 ‫ ׃‬1.512 ‫ ׃‬2
结构约束越强,则刚度越大, 其自振动频率也越大。
8
m
l
ml
ml
ml
4
2
4
l/3
l/3
ml ml
ml
ml
63
3
6
l/3
l/3
l/3
ml ml ml ml ml
84 4
4
8
l/3 l/3 l/3 l/3
精确解 : 1
9.87 l2
1
[例1] 计算图示结构的频率和周期。
解：（柔度法）
1 m
l3
48EI
48EI
ml 3
T 2 ml3
48EI
H
m
1
A,E,I
E,I
[例2] 计算图示结构的水平和竖向振动频率。
1
解：
V
H
1
m H
E,A
V
1
mV
其中
H
l3 3EI
其中
v
l EA
7
l
[例3] 图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m ，
k11 、k12 、k21 、k22 —— 位移法的刚度系数 kij
kij —— 第j 个结点位移发生单位位移(其它结点位移均锁固)时，
在第i 个结点位移处产生的反力。
由图示可知： k11=k1+k2
k12=k21=－k2
k22=k2
5
3. 应用举例
求图示三层刚架的顶端侧移。
P
解： 1）计算各楼层（侧移）刚度
EI , m
2
39.84 l2
EI , m
3
88.83 l2
EI m
解得:1
9.80 l2
EI , m
解得 :1
9.86 l2
EI , m
2
38.2 l2
EI m
解得:1
9.865 l2
EI , m
2
39.2 l2
EI m
3
84.6 l2
EI m
(－0.7%）
(－0.1%） (－3.1%） (－0.05%） (－0.7%） (－4.8%）
不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。
m
m
m
l/2
l/2
解：
1
3l/16
，先求δ
m
1
l3 48EI
l/2
l/2
l/2
P=1
2
7l53l/32 768PE=I1
l/2
l/2
3
l3 192EI
1
48EI ml 3
2
E1I2
l2 (2
6
7726lm8El1336Il
l 2
352l)37678l1E39mI2lE3 I
结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。
11
例6、求图示结构的自振频率。
解：求 k
k11
k11
3EI
m
k11
k
3EI l3
k l3
1
k
EI
l
k11 3EI l3 k
m
m
•对于静定结构一般计算柔度系数方便。 •如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点 都不能发生转动（如横梁刚度为∞刚架)计算刚度系数方便。
i
1
1
k
k
3EI l3
3i l2
简支梁中点柔度、刚度：
δ
l3
48EI
k
48EI l3
2
2. 柱的并联、串联刚度
（1）并联
h EI
EI
总侧移刚度：
kk左柱k右柱3EI h33EI h3
6EI h3
h1
i1
i2 h2
∞
h i1
i2
总侧移刚度：
k
k左柱
k右柱
3 h
i1
2 1
3 i2
h
2 2
总侧移刚度：
k
k左柱
k右柱
12 i1 h2
12 i2 h2
并联一般公式：
n
k kj j 1
3
（2）串联
Δ P h2 k2 Δ1
h1 k1
Δ2
1
Pg1
Pg1 k1
楼面刚度 为无穷大 视同刚臂
2
Pg 2
Pg1 k2
1
2
Pg1 k1
Pg1 k2
P
1 k1
1 k2
k1 、k2 — 楼层刚度
k1
12i1 h12
两端刚结的杆的侧移刚度为：
12EI l3
一端铰结的杆的侧移刚度为：
3EI
l3
12
9
例5、求图示结构的自振圆频率。
1
k Am
h
I→∞
EI
Bθ
l
1
h
解法1：求 k
θ=1/h
MBA=kh = MBC
3 EI 3EI
l lh
C
k
3EI lh2
k m
3EI mh 2l
解法2：求 δ
1 lh 2h lh2
EI 2 3 3EI
1
m11
3EI m lh2
10
例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。
k2
12i2 h22
总刚度： k P 1
1 k1
1 k2
串联一般公式：
1 1 1 L 1 n 1
k k1 k2
kn k j1 j
4
▲ 楼层刚度与位移法刚度系数的关系
EI∞
k2
EI∞
1 k1
k21 k2 1 k11 k1 k2
k22 k2
k12 k2
k1、k2 —— 楼层刚度（本楼层单位侧移所需的侧向力）