2017年四川理工学院专升本《高等数学》考试题（理工类）一、单项选择题（每题3分，共15分）1、当0→x 时，下列选项中是x 的高阶无穷小的是（ C ）（A ）x 2sin （B ）11--x （C ）1cos -x （D ）)51ln(x + 【知识点】无穷小的比较。
解析：021lim 1cos lim 200=-=-→→xxx x x x ，由定义知，1cos -x 是x 的高阶无穷小。
2、已知c x F dx x f +=⎰)()(，则=+⎰dx xf )12(（ D ）（A ）C x F +)(2 （B ）C x F +)2( （C ）C x F ++)12( （D ）C xF ++)12(2【知识点】第一类换元积分法（凑微分法）。
解析：C xF x d x f dx x f ++=++=+⎰⎰)12(2)12()12(2)12(。
3、可设方程xxe y y y 396-=+'+''特解的待定系数形式为（ B ）（A ）xeb ax 3)(-+ （B ）xeb ax x 32)(-+ （C ）xaxe3- （D ）xe3-【知识点】二阶非齐次方程的特解形式)(*x Q e x y n xk λ=。
解析：特征方程0962=++r r ，321-==r r （重根），3-=λ 故，特解形式可设为：xeb ax x y 32)(*-+=。
4、下列级数中，条件收敛的是（ C ） （A ）n n n )32()1(11∑∞=-- （B ）∑∞=--11)1(n n n （C ）12)1(11+-∑∞=-n n n n （D ）31151)1(nn n ∑∞=-- 【知识点】条件收敛的概念。
解析：对级数12)1(11+-∑∞=-n nn n ： ∑∑∞=∞=+=1112n n n n n u ，02112lim ≠=+∞→n n n ，由级数收敛的必要条件知，级数∑∞=1n n u 发散； 由交错级数的审敛法知，12)1(11+-∑∞=-n nn n 收敛，即∑∞=1n n u 收敛， 故，级数12)1(11+-∑∞=-n nn n 条件收敛。
5、设21,αα是非齐次线性方程组b AX =的解，β是对应齐次方程组的一个解，则b AX =一定有一个解是（ D ）（A ）21αα+ （B ）21αα- （C ）21ααβ++ （D ）βαα-+213231 【知识点】方程组解的定义。
解析：由题设知，0,,21===βααA b A b A ，而b b b A A A A =-+=-+=-+032313231)3231(2121βααβαα， 即，向量βαα-+213231满足方程组b AX =，故βαα-+213231为方程组的一个解。
二、填空题：（每题3分，共15分） 1、已知3)31(lim -∞→=+e nnkn ，则=k 。
【1-】 【知识点】重要极限。
解析：3333)31(lim )31(lim -⨯∞→∞→==+=+e e nn k knn nk n ，即1-=k 。
2、设⎩⎨⎧>≤=1,ln 1,)(x x x e x f x ，则=⎰e dx x f 0)( 。
【e 】【知识点】定积分的区间可加性。
解析：e e dx x dx e dx xf ex e=+-=+=⎰⎰⎰1)1(ln )(110。
3、曲线21x xy -=的渐近线条数为 ；【3】【知识点】渐近线的定义。
解析：01lim2=-∞→x xx ，即0=y 为曲线的水平渐近线；∞=-→211lim x x x ，∞=--→211lim x xx ，即1±=x 为曲线的垂直渐近线。
4、幂级数∑∞=-1)3(n n n x 的收敛域为 。
【)4,2[】【知识点】幂级数的收敛域。
（考虑端点） 解析：由13lim1<-=+∞→x u u nn n 得：42<<x ；当2=x 时，级数∑∞=-1)1(n nn 为收敛的交错级数，当4=x 时，级数∑∞=11n n 为发散的调和级数，故收敛域为)4,2[。
5、若矩阵X 满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12343152X ，则=X 。
【⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1042】 【知识点】逆矩阵及矩阵的乘法。
解析：由⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛12343152X 得： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-123431521X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=104212342153三、求解下列各题（每小题6分，共60分）1、确定b a ,的值，使函数⎩⎨⎧≤+>=0,)sin(0,)(x b ax x e x f x 在0=x 处可导。
【1==b a 】【知识点】可导、连续的定义。
解析：由连续知：])[sin(lim )(lim 00b ax e x xx +=-→+→，即1=b ；由可导知：xx a x e x x x ∆∆=∆--→∆∆+→∆)sin(lim 1lim 00，即1=a 。
2、求曲线2x y =与直线2+=x y 所围成平面图形的面积，并求此图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的的体积。
【知识点】定积分的应用（求面积和体积）。
解析：（图略）29)2(212=-+=⎰-dx x x A ；ππ562])2[(2142=-+=⎰-dx x x V 。
3、设xxsin 是)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f x )(。
【知识点】分部积分法。
解析：c xxx x c x x x x x dx x f x xf x xdf dx x f x +-=+-'=-=='⎰⎰⎰sin 2cos sin )sin ()()()()(。
4、求曲线32,,:t z t y t x L ===上的点，使该点处的切线平行于平面133=++z y x 。
【知识点】空间曲线的切线。
解析：23,2,1t z t y x ='='='，设对应点的的参数为t ，则切向量}3,2,1{2t t s =； 平面的法向量}1,3,3{=n ，由条件得：0=⋅s n ，即03632=++t t ，即1-=t ， 故，所求点的坐标为)1,1,1(-。
5、方程023=+-y xz z 确定函数),(y x z z =，求dz 。
【知识点】隐函数的全微分（微分的形式不变性）。
解析：两边求微分：0232=+--dy xdz zdx dz z ，即xz dyzdx dz --=232。
6、将函数xx f 1)(=展开成)3(+x 的幂级数。
【知识点】幂级数的展开式。
解析：331131)3(311+--=+--=x x x ，由∑∞==-011n n x x （1<x ）得： ∑∑∞=+∞=-+=+-=0103)3()33(31)(n n nn n x x x f （06<<-x ）。
7、求可导函数)(x y ，使其满足方程20)(2)(x dt t y x y x=+⎰。
【知识点】变上限函数、微分方程。
解析：两边求导：x y y 22=+'，由通解公式得：21)21(]2[222222-+=+-=+⎰⎰=---⎰x Ce C e xe e C dx xe e y x x x x dx dx ；由0)0(=y 得21=C ，故，21212-+=-x e y x 。
8、计算dx y y e dy x y y e I Lx x )cos ()22sin (2--++-=⎰，其中L 是上半圆xy x 222=+从点)0,2(A 到点)0,0(B 的一段弧。
【知识点】曲线积分。
解析：22sin +=∂∂y e x Qx ，12sin -=∂∂y e y P x ，由格林公式得： πσσ233)(==∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d y P x Q DDBAL， 而221e dx e x BA-=-=⎰⎰，故1232-+=⎰e Lπ。
9、计算⎰⎰+=Ddxdy y x I )(22，其中D 由4)2(22=+-y x 所围成的闭区域。
【知识点】二重积分（极坐标系）。
解析：（图略）θπθπcos 40;22:≤≤≤≤-R D ，于是128]4cos 812cos 2183[128cos 12820204cos 40322-=++===⎰⎰⎰-ππθππθθθθθd dr r d I 。
10、当a 为何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=-++=+++=+++ax x x x x x x x x x x x x x x x 4321432143214321710535105363132有解，在有解的情况下，求其通解。
【知识点】非齐次线性方程组的通解。
解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=a A 710535410513163113211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→32420478402242013211a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→50000030002242013211a要使方程组有解，必须05=-a ，即5=a ，此时方程组有无穷多解。
取3x 为自由变量，令13=x 得齐次方程组的基础解系：T)0,1,2,0(-=α； 令03=x 得非齐次方程组的一个特解：T)0,0,1,0(=β，故通解为αβk X +=。
四、证明题（每小题5分，共10分）1、已知向量组321,,ααα线性无关，且211ααβ+=，232ααβ+=，313ααβ+=，证明：向量组321,,βββ线性无关。
【知识点】向量组线性无关的定义。
证明：)()()(313232211332211ααααααβββ+++++=++x x x x x x =332221131)()()(αααx x x x x x +++++因321,,ααα线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000000321322131x x x x x x x x x ，由定义知，向量组321,,βββ线性无关。
2、设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)0(=f ，证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使得ξξξ-='1)(3)(f f 。
【知识点】罗尔定理。
证明：令)()1()(3x f x x F -=，)()1()()1(3)(32x f x x f x x F '-+--='；显然)(x F 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1()0(==F F ，由罗尔定理，)1,0(∈∃ξ使0)(='ξF ，即0)()1()()1(332='-+--ξξξξf f 因)1,0(∈ξ，所以01≠-ξ，于是，0)()1()(3='-+-ξξξf f ， 即，ξξξ-='1)(3)(f f 。