原点是奇点，速度无穷大 R 0, uR
41
点源（汇）
强度 m
强度 m 定义为单位时间从点源释放出的流体流量（设垂直于流场为 单位高度）。围绕半径为 R 的圆作积分，
x y
dy dx
u v
dy dx
dy dx
+1
u v
v u
+1=
0
即流线和等势线相互正交。
22
流函数性质
(4) 方程
对于 xoy 平面的二维流动 ,
= zk
z
v x
u y
z
v x
x
y
y
2
x2
2 y 2
z 2
如流动无旋 则：
2 = 0
23
流函数性质
流函数 从满足不可压缩流体平面流动的连续方程出发而定义，因 此适用于无旋和有旋流动，在无旋条件下 满足拉氏方程。 势函数 从满足无旋条件出发而定义，因此只适用于势流。在不可 压缩流体条件下 满足拉氏方程。
F(z) = c z ( c为实数 ) W (z) dF c u iv dz u = c v = 0
如沿 x 轴方向速度为 U, 则
F Uz
U
37
均匀流
F(z)=－ icz ( c为实数 )
W (z) dF ic u iv dz
V
u = 0 v = c
如沿 y 轴方向速度为V 则
流函数
平面势流
解法
拉普拉斯方程 复势理论
基本解
速度场
伯努利积分 压强场
理论
绕圆柱流动 绕机翼流动
应用
机翼升力、诱导阻力
实际
水波运动
叶栅理论
14
平面流动举例
桥墩，电线杆，烟囱，机翼等。
设横截面为x0y 平面，流场中各
U
点的流体速度都平行于 xoy 平
面， z 方向的速度分量为零，
各物理量在 z 方向没有变化。
24
4.2 复位势和复速度
科西-黎曼条件
u = = , v =
x y
y x
x
y
y x
上式称柯西-黎曼条件。
满足柯西-黎曼条件的势函数和流函数也必然分别满足拉氏方程，它 们是一对共轭调和函数。
25
复位势 构造复函数，
F(z)= + i z= x + i y，
i 1
F(z) 的实数部分是速度势函数，虚数部分是流函数 。 , 满足柯西－黎曼条件，又是可导的，根据复变函数理论，F(z) 是
= c11 + c22 也是解，其中 c1 ,c2 是不全为零的常数。
11
理想不可压缩流体无旋运动适用范围：
• 理想流体模型：适用于粘性力比其他类型力小得多的流动 区域。（如机翼上压力、速度分布及所受举力）
• 不可压缩流体模型：适于通常条件下运动的液体及低速运 动的气体。
• 无旋运动：理想、正压、外力有势条件下，从静止或无旋 状态启动的不定常运动及无穷远处均匀来流的定常连续绕 流问题都是无旋运动。
粘性流动采用固壁上的无滑移条件，由于理想流体动量方程中失 掉了高阶粘性项，欧拉方程比 N-S 方程低了一阶，它就不需要象 粘性流方程组那样多的边界条件。
un=U n 固壁静止时，
un=0 无穷远边界条件，
r , u u
u + u u = 1 p + f
t
ρ
u + u u = 1 p + 2u + f
忽略流动的粘性和可压缩性，连续方程和N-S方程可化简为,
u = 0
u t
+
u
u
=
1 ρ
p
+
f
如果ρ=常数，上述 4 个方程包含 4 个未知数 u、p，方程组是封闭的。
流体动力学问题和热力学问题可分开求解, 但压强和速度仍然耦合 在一起。
6
理想不可压缩流体流动
边界条件
壁面上需满足法向无穿透条件，而允许存在切向滑移速度 (固体 壁面是流场中的一条流线)。
uz 0,
0 z
15
4.1 平面上的势函数、流函数
1、平面运动：
0
0 z
注意：当后面谈到oxy平面上某一曲线时，实际上指的是以该 曲线为底，以高度为1的垂线为母线的圆柱面，通过该曲线的 流量实际上是通过上述圆柱面的流量。
平面运动在工程实际上有广泛的应用，如低速机翼表面的压 力分布，升阻力的理论计算和实验研究就是采用平面运动近 似模型。将得到的结果经过一定的修正，即可在设计中应用。
通过 dl 的流体流量
Q vdx + udy
B
Q vdx + udy
A
B ψ dx + ψ dy
A x
y
B
dψ ψB ψA
A
=B B
dl
u dy
v dx A
A
21
流函数性质
(3) 流线和等势线相互正交
= const 的线称等势线。
= x,y
d = dx + dy = udx + vdy = 0
WW = (u iv)(u +iv) = u2 +v2 = u u
27
柱坐标下的复速度
u = uR cosθ uθ sinθ v = uR sinθ +uθ cosθ
y
u
u
v uR
u
x
W u iv = (uR cosθ uθ sinθ) i (uR sinθ + u cosθ)
uR
(cosθ
2
p
p,T
e e ,T
3
理想不可压缩流体流动 基本方程组 忽略流动的粘性和可压缩性，连续方程和N-S方程可化简为,
u = 0
u
t
+u
u
=
1 ρ
p
+
f
如果ρ=常数，上述 4 个方程包含 4 个未知数 u、p，方程组是封闭的。
流体动力学问题和热力学问题可分开求解, 但压强和速度仍然耦合在 一起。
34
平面无旋运动和复位势
给定一个平面无旋运动，就可得到一个解析函数， , F(z)
给定一个解析函数 F(z)，
F(z) , 即有一个平面无旋运动与 F(z) 对应 （并非所有的 和 都可以作出
有物理意义的解释）， 平面无旋运动和解析函数之间存在一一对应的关系。 复变函数是强有力的数学工具。复变函数的方法不能推广到三维流 动中去。
• 因此，理想、不可压、无旋运动只适于一定条件下的一定 问题。
• 尽管理想、不可压、无旋运动具有一定的局限性，但它具 有一定的实际意义，积累了处理问题的各种方法，是处理 复杂流动不可缺少的基础。
12
第四章 二维势流
13
理想不可压缩流体平面势流 无粘流
欧拉运动方程
概 念 无旋流
速度势函数
平面不可压缩
4
研究理想不可压缩流体的意义
以绕流问题为例，绕流是指流体绕过物体时，在物体外 部形成的流动。 飞机在静止空气中常速飞行，求空气对飞机的作用力。 空气是有粘性且可压缩，机翼和机身形状复杂，理论上 将无法求解。 当物体绕流时，表面附近很薄的边界层内，粘性影响显著， 而边界层以外绝大部分区域内，粘性影响很小，可以忽略。
M
dΦ = Φ(M)-Φ(M0 )= udx+vdy
17
M0
流函数
不可压缩流体平面流动的连续方程 ，
u + v = 0 x y
u
y
v
x
流函数 自动满足连续方程。
u x
+
v ＝ y x
y
y
x
0
18
流函数性质 流函数可以相差任一常数，而不影响其对流场的描述
19
流函数性质
(1)Ψ= const. 的线是流线。
解析函数。
附录E
26
复速度 因为 F(z) 是解析函数，因此其导数dF/dz 的值与求导方向无关，只 是平面点的函数。
W (z) dF F i
dz x x x
W (z) u iv
请注意 W(z) 的虚部是v ，实际速度则是上述复速度的共軛值，
W = u +iv
复速度与共軛复速度的乘积等于速度矢量与其自身点乘,
F iVz
38
均匀流
W(z) V cos iV sin
V cos i sin
Vei
F (z) = Veiz
V
在虚平面内一个矢量可用它 的模和幅角表示。
39
4.3.2 点源（汇）
F(z) cln z ( c大于0，实数） z = x+iy=Reiθ (0 2)
势函数，流函数
F(z) c ln(Reiθ ) c ln R icθ
cln R cθ 等势线： 以原点为中心的同心圆族。 流线：从原点出发的射线族。
40
点源（汇）
速度场
F(z) c lnz
W(z)
dF dz
c z
c eiθ R
uR
iuθ eiθ
uuθR
= =
c/R 0
可看作在原点有一点源释放流体向四周均匀流出，速度只有R方向 分量，离开原点愈远速度愈小。
后者有四个方程，而前者两个方程。
欧拉方程是非线性方程，2 = 0 是线性方程。势流伯努利方程也
是非线性的，但不存在求解困难。
后者求解过程中，u, p 耦合在一起需联立求解，对于势流可分开求 解：先求出，u = ，再求解伯努利方程得到压强场。
10
势流
拉氏方程解的可叠加性
2 = 0