n n 2 aij 与向量范数 i 1 j 1
T
1 2
A (aij ) C ， x 1 , 2 , , n C n 证明：设
Ax 2


n i 1
n n
n k 1
aik k
2
2
i 1 ( k 1 aik k )
v
v
) max
x0
A( Bx ) v Bx Bx
v
v v
x
|| A( Bx ) || || Bx || max max A B Bx 0 || Bx || x 0 || x ||
即||A||满足相容性。
再证||A||与|| x ||v的相容性。
A max
x 0
Ax x
(2) 假设i=k时， | aij | 取得最大值，即
j 1 n
n
A

max aij
i j 1
n
max | aij | | akj |
i j 1 j 1
n
则对于满足||x||∞=1的任意n维向量x，有
Ax
Ax = maxn aij x j | aij | max | aij | n
j 1 j 1

max n ij x j max | aij || x j | a n
i i
n
n
n
max
i
i j 1
j 1 |a
ij |max | j
x j |1
j
| akj |
j 1
i
j 1
取x0的第j个分量xj为
akj , x j akj 1 , akj 0 akj 0
2 i 1
n
Ax 2 y H Dy i2 | i |2
2 i 1
n
因为 | i | y 2 1 ，所以 Ax 2 12
2 2
2
n
i 1
Ax 2 1
又由x的任意性可得 若取 x=u1 ，则显然有
Au1
2 2
max Ax 2 1
|| x||2 1
n i 1 n n 2 n
( k 1 aik k )2 i 1
n n 2
[( k 1 aik )( k 1 k )]
n k 1

i 1 2
aik
2

n k 1
k
2
AF x
||A||F 与 ||x||2 相容的性质反映了 ||A||F 是像 Ax 的2-范 数 ||Ax||2 与原像 x 的2-范数之比的最大值，即
m
x
H
v
x0
x0
x 0
H
x v x
m
0
x 0
H
x v x
H m
0
再证 v 与 m的相容性 nn x C n 由矩阵范数定义中的第4条 A C
Ax v ( Ax) H
m
A m x H
m
Am xv
定理3
设A为n阶方阵，则
x, y
则称矩阵范数 A 与向量范数 x 是相容的
例1 证明矩阵范数
x
1
A
xi
i 1
n
m1
aij 与向量范数
i 1 j 1
n
n
是相容的。
nn
A (aij ) C ， x 1 , 2 , , n C n 证明：设
T
Ax 1 i 1 k 1 aik k i 1 ( k 1 aik k )
Ax 仍是C n ( Rn )上的向量， 上的向量范数，由于
所以： Ax A x
A 是 C nn ( Rnn ) x 是 C n ( Rn ) 上的矩阵范数， 上 定义1 设 的向量范数。如果对任意的 A C nn ( Rnn ), x C n ( Rn )
都有： Ax A x
2 2 D 12 , 2 , ..., n
从而有
T
Ax 2 x H U H DUx
2 2 2 H H 2
令 y Ux 1 ,2 , ...,n ，则 y 2 Ux 2 x U Ux x 2 1
故得
Ax 2 y H Dy i2 | i |2
v
v

Ax x
v
v
Ax v A x v
由向量范数诱导的矩阵的算子范数还有另外几个不 同的计算公式。
n n 定理2: 设 v 是 C ( R ) 上的向量范数,则
(1) (2)
A max Ax
x v 1
v
A max Ax
x v 1
v
都是由 v 诱导出的算子范数
y max A y0 yv
(1) || A ||2 max{| y H Ax | | || x ||2 1,|| y ||2 1}
(2) || A ||2 || A ||2 || AT ||2 || AH ||2
(3) || AH A ||2 || A ||2 2
(4) || A ||2 || UAV ||2 , U ,V U nn
m
就是 C n 上与 m相容的向量范数。 首先, 证明 v 是 C n 上的范数：
1.
三角不等式 x, y C n
m
x y v ( x y ) H
x H
m
y H
m
xv y
v
2, 绝对齐性
C
m
x v ( x) H
3, 正定性
x H
Ax x
2 2
A
F
因此，可以用||A||F来刻画变换A 的结果。 对于给定的某种向量是否一定存在与它相容的矩阵 范数？ 任意一个矩阵范数都有与之相容的向量范数吗？
从属于向量范数的矩阵范数 给定C n 上的向量范数 v ， A C nn 定义 定理1
A max
x
Ax x
v
x v 1 x v 1
Ax x
v
v
max
x 0

Ax x
v
v
A
故有，
max Ax v A
x v 1
例3
证明由n维向量的1-范数， ∞-范数和2-范数
n
所诱导的算子范数分别是(设A=(aij)n×n) (1)
A 1 max aij 为从属于向量1 – 范数的矩阵范数
j i 1
n
则有||x0||∞=1， 且Ax0的第k个分量为
a
j 1
kj
x j | akj | max | aij |
j 1 i j 1
n
n
(3) 任取 x x1 , x2 , ..., xn ，且 || x ||2=1， 则 2 H H H
Ax 2 ( Ax ) ( Ax ) x A Ax
证明 (1) 设A的各列向量为αi，即
A 1 2 n x x1 , x2 , ..., xn
Ax
1
T
A
1
max aij
j i 1
n
且
x
1
| xi | 1
i 1
n
x11 x2 2 ... xn n x1 1
H 证明 (1) 由于 | y Ax || ( y , Ax ) ||| y ||2 || Ax ||2
|| A ||2 || x ||2 || y ||2 || A ||2
而||A||2为||Ax||2在||x||2=1上的最大值，因此，存在x0， 使得 || Ax0 ||2 || A ||2 0
y x x v 1 令 yv
证(1) A max
y0
Ay y
v
v
Ay max y0 yv
v
v
max{ Ax v : x v 1}
(2)
显然
max Ax v max Ax
x v 1 x v 1
v
由(1)可知，
A max Ax
x v 1
v
max Ax v max
A max
x0
Ax x
v
v
0
即||A||满足正定性；另外，显然||A||=0当且仅当A=0。 (2) 对任意的常数k∈C，
kA max
x 0
kAx x
v
v
k max
x 0
Ax x
v
v
k A
即||A||满足齐次性。
(3) 对任意的方阵A，B∈Cn×n，
A B max
x 0
列模和之最大者：列和范数 (2)
A max aij 为从属于向量∞ – 范数的矩阵范数 i
j 1 n
行模和之最大者：行和范数 (3)
A 2 M 1 , M max{ : det( I AH A) 0}
为从属于向量2-范数的矩阵范数，也称谱范数。 为A的最大正奇异值。
n
k 1 max aij
j i 1
n i 1
，并取单位向量 ek 0, ..., 0,1, 0, ..., 0
Aek
1
T
则 ek 1 1 ，且有 k
1
，于是
Aek
1
| aik |
i 1
n
即||Ax||1在单位球面{ x | ||x||1=1 }上的极大值点为ek，