什么是方差分析(一个例子)
➢ 某水产研究所为了比较四种不同配合饲料对鱼 的饲喂效果，选取了条件基本相同的鱼20尾， 随机分成四组，投喂不同饲料，经一个月试验 以后，各组鱼的增重结果列于下表。
▪ 四种饲料对鱼的增重效果是否相同
饲料
A1 A2 A3 A4 合计
31.9 24.8 22.1 27.0
鱼的增重 x i j
方差分析的基本思想
➢ 将所有测量值间的总变异按照其变异的来源分 解为多个部份，然后进行比较，评价由某种因 素所引起的变异是否具有统计学意义。
离均差平方和的分解
总变异
组间变异 组内变异
离均差平方和的分解(例子分析)
➢ 共有三种不同的变异
▪ 总变异（Total variation）：全部测量值 x i j与总
kn
k
SSe (xij xi)2 (n1)si2
i 1j 1
i 1
e k(n1)
三种“变异”之间的关系
➢ 平方和分解 SST SSt SSe
➢ 自由度分解
T t e
➢ 导Hale Waihona Puke 组内数据不一致的原因 ▪ 随机误差
➢ 导致组间数据不一致的原因 ▪ 处理因素 ▪ 随机误差
One-Factor ANOVA Partitions of Total Variation
Total Variation SST
= Variation Due to Treatment SSB
+
➢ Commonly referred to as:
Sum of Squares Among, or
Sum of Squares Between, or
Sum of Squares Model, or
SSt
k Ti2
i1 n
C
1(155.92 131.42 123.72 139.82)C 5
15283.315169.03114.27
➢ 处理内平方和
SSeSSTSSt 199.67114.2785.40
平方和、自由度计算实例(续2)
➢ 总变异自由度
T nk 1
54119 ➢ 处理间变异自由度
曲线图下，Fa (1 , 2 ) 右方的面积为 a ,则称 Fa (1 , 2 )
为第1自由度为 1 、第2自由度为 2 的F分
Among Groups Variation
Variation Due to Random Sampling SSW
➢ Commonly referred to as: Sum of Squares Within, or Sum of Squares Error, or Within Groups Variation
总变异:所有测量值之间总的变异程度
➢ 计算公式
SST
kn
xij x
2
kn
xi2j
C
i1 j1
i1 j1
nk
xi2j C＝(nk1)sT2
i, j
T nk 1
kn
➢ 矫正系数
( xij )2
C i1 j1
T2
nk
nk
组间变异：各组均数与总均数的 离均差平方和
➢ 计算公式
SSt i k1n(xi x)2 i k1Tn i2C
➢ 组间均方和组内均方的计算公式为:
M St
SSt
t
M Se
SSe
e
F 值与F分布
➢ 如果各组样本的总体均数相等（ H 0:12 ...k ），
即各处理组的样本来自相同总体，无处理因素的作用， 则组间变异同组内变异一样，只反映随机误差作用的 大小。
➢ 组间均方与组内均方的比值称为F统计量
FMSt MSe
t k 1
SSt反映了各组均数 x i 的变异程度
组间变异＝①随机误差+②处理因素效应
组内变异
➢ 在同一处理组内，虽然每个受试对象接受的处 理相同，但测量值仍各不相同，这种变异称为
组内变异，也称SSe。
➢ 用各组内各测量值 x i j 与其所在组的均数差
值的平方和来表示，反映随机误差的影响。
➢ 计算公式
第7章 方差分析 Analysis of Variance
（ANOVA）
Section 7.1
Principle of ANOVA 方差分析的基本原理
什么是方差分析
➢ ANOVA 由英国统计 学家R.A.Fisher首 创，为纪念Fisher 以F命名，故方差 分析又称 F 检验 （F test）。用于 推断多个总体均数 有无差异
均数 x27.54间的差异 ▪ 组间变异（ between group variation ）：各组
的均数 x i 与总均数 x27.54 间的差异
▪ 组内变异（within group variation )：每组的每
x 个测量值 x i j 与该组均数 i 的差异
➢ 用离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS)反映变异的大小
平方和、自由度计算实例
➢ 矫正系数
C T25 5 0 .8 2/(54 )1 5 1 6 9 .0 3 n k
➢ 总平方和
nk
SST xi2j C
i, j
31.92 27.92 L 28.52 C 15368.7 15169.03 199.67
平方和、自由度计算实例(续1)
➢ 处理间平方和
1t
2 e
➢ F值接近于l，就没有理由拒绝H0；反之，F值越大，拒 绝H0的理由越充分。数理统计的理论证明，当H0成立时， F统计量服从F分布。
1.4 f( F)
1.2
1.0
11,2 5
0.8 0.6
15,2 5
0.4
110,210
0.2
0.0
0
1
2F
3
4
F 分布曲线
单侧临界值
➢ 在第1自由度为 1 、第2自由度为 2 的F分布
t k 1
4 1 3
➢ 处理内变异自由度
e T t
19 3 16
均方差,均方(mean square,MS)
➢ 变异程度除与离均差平方和的大小有关外，还 与其自由度有关，由于各部分自由度不相等， 因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将 各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值 称为均方差，简称均方(mean square，MS)。
27.9 31.8 28.4 25.7 26.8 27.9 23.6 27.3 24.9 30.8 29.0 24.5
合计T i 平均 x i
35.9 155.9 31.18 26.2 131.4 26.28 25.8 123.7 24.74 28.5 139.8 27.96
T=550.8 x27.54