ab
解 析 ： 由 三 点 共 线 可 得 a b 1 ， 观 察 形 式 采 用 “1” 的 代 换 ， 故 而
1
1
1 a
1 b
a
b
2
b
a
，等式右侧积为定值，故而利用积定和最小法则可
ab
1
ab
得 ： b a 2 ba 2 ， 当 且 仅当 b aab1 时 取 等号 。故 而 可 得
a b ab
2x 2y
42x
y
2
2x 2y 42x y 4 ， 当 且 仅 当
2x y 2x 2y
2x y 2x 2y
2x 2y 2x y
42x y
2x 2y
2 ，亦即
x
y
0 3 2
时取等号。此时可得 4 x
3y min
9 2
。
问题 3：方程中的基本不等式
解题思路：将需要利用不等式的项移到方程的一边，利用基本不等式求解即可。
3
2
3 a
2 b
2a
3b
12
9b a
4a b
，观察分子可得分子积为定值，根据积定和
ab
6
6
最小法则可得： 9b 4a 2
ab
9b a
4a b
12
，当且仅当
9b a
4a b
a b
3 2
1
时取等号，故
而可得
3
2
12
9b a
4a b
4
。
ab
6
（不等式与解三角形）例题 7： .
中，角
的对边分别为
a
2
b
2
ab
可
得
：
b2
c2
2bc 3 3bc
b c2
3 3bc
3
b
2
c
2
b c2
4
3bc
2
3，
当且仅当 b c 3 时取“=”号。故而可得三角形的周长 CABC a b c 3 3 。
换方法，即
1
1
1 a
1 b
a
2b
，化简可得
1
1
3
2b a
a b
很明显积为定，根据
ab
2
ab
2
积定和最小法则可得：2b a 2
ab
2b a 2 ab
2
，当且仅当
2b a
a b
a b
2 2
2
2
2
时取
等号，故而可得
1
1
3
2b a
a b
3
2
2。
ab
2
2
3x y 6 0
（基本不等式与线性规划）例题 9：设 x, y 满足条件{ x y 2 0 ，若目标函数
解题思路：根据 f x m f x m 0 ，对所求内容进行乘除化简即可。
m
例题 4：若两个正实数 x、y 满足 1 4 1 ，且不等式 x y ＜m2 3m 有解，则实数
xy
4
m 的取值范围是 。
解析：由题意可得
1
4
1，左边乘以
1
4
1可得： x
y
x
y 4
1 x
4 y
，化简
，且
（1）求角 的大小； （2）若 周长的最值。.
，求 的最大值.
（3）求 ABC
解析：（1）由题意与余弦定理可得 a2 b2 c2 2bc cos A b2 c2 bc ，解得 cos A 1 ，
2
故而 A
3
（2）由余弦定理可得 a2 b2 c2 bc 3 ，故而 bc 3 b2 c2 ，由基本不等式
x 0, y 0
z ax by （ a 0,b 0 ） 的 最 大 值 为 12 ， 则 3 2 的 最 小 值
ab
为
。
解析：作出可行域如图所示：故而可得 z ax+by 在点 H 4,6 取最
大值，即 4a 6b 12 2a 3b 6 ，由题意可得采用“1”的代换求 解。
即
C． a 的最大值为 2 D． a 的
解析：由题意可知参数为 a
，将自变量移项可得： a2
2a
2
4x x2
x
x
4 x 1
x
，
观察等式右侧，可知等式右侧经配凑可得积为定值，根据积定和最小可得：
4 x 1 2 4 x 1 4 ，当且仅当 4 x 1 x 3 时取等号，此时可得
x 1
x 1
m，将双自变量
a
、b
移项可得：m2
8m
2 a
1 b
2a
b
恒
成立
，故
而可
得
m2
8m
2 a
1 b
2a
b
min
，
将不
等式右
侧化
简可
得
2 a
1 b
2a
b
5
2b a
2a b
，
很
明
显积
为
定值
，
根
据积
定和
最
小
法
则
可
得：
2b 2a 2 2b 2a 4 ， 当 且 仅 当 2b 2a a b 1 时 取 等 号 。 故 而
ab
2
1 1 2 b a 3。
ab
ab
（ 不 等 式 与 解 析 几 何 ） 例 题 8 ： 若 直 线 ax by 2 0 （ a 0 ， b 0 ） 被 圆
x2 y2 2x 4y 1 0 截得的弦长为 4，则 1 1 的最小值为
。
ab
解析：将圆化为标准方程可得 x 12 y 22 4，根据弦长为 4 可得直线经过圆 心。将圆心1,2 代入直线方程可得 a 2b 2 。观察求解形式可得采用“1”的代
x 1
4 x 1
x
min
5
。
由
a2
2a 2
4 x x 1
对
于
任
意
的
x 1,
恒
成
立
可
得
：
a2
2a
2
4 x 1
x
min
5 ，化简可得a
3a
1
0
，解得 3
a
1。
变式 6：已知 a>0，b>0，若不等式 2 1 m2 8m 恒成立，则 m 的取值范围
a b 2a b
是
。
解析：由题意可知参数为
a2 b2 ab 可得 bc 3 b2 c2 2bc bc 3 ，当且仅当 b c 3 时取“=”号。
2
故而可得三角形的面积 SABC
1 bc sin 2
A
1 2
3
3 3 3 24
3。
（3）由余弦定理可得 a2 b2 c2 bc 3 ，故而 bc b2 c2 3 ，由基本不等式
ab
ab
ab
2 a
1 b
2a
b
min
9
，代入不等式中可得 m2
8m
9 化简为m 9m 1
0 解不等
式可得 1 m 9 。
问题 5：不等式与其他问题结合
（向量与不等式）例题 7：已知 OA aOB bOC(a 0,b 0) ，且 A, B,C 三点在同一 条直线上，则 1 1 的最小值为_________．
ab
时等号成立。
二、常见问题及其处理办法
问题 1：基本不等式与最值
解题思路：
（1）积定和最小：若 ab 是定值，那么当且仅当 a b 时， a b 2 ab 。其中 min
a, b 0,
（2）和定积最大：若
a b 是定值，那么当且仅当
a
b 时， ab max
a
2
b
2
，其
中 a,b R 。
解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得： 2x
1 2x2
2
2x
1 2x2
1，当
且仅当 2x
1 2x2
x
1 时取等号。
变式：已知 x 2 ，则 x 1 的最小值为
。
x2
解析：由题意可得 x 2 0, x 2 1 1，明显，积为定，根据和定积最大法则
x2
可得：x 2 1 2 x 2 1 2 ，当且仅当 x 2 1 x 2 1 x 1时取
3xy 1 2 xy 0 3 xy 1 xy 1 0 xy 1 xy 1 ，此时 x y 1
问题 4：含参基本不等式问题
解题思路：利用含参不等式的解法求解即可。
例题
6：已知
a2
2a x
2
4 x2
x
1对于任意的
x1, 恒成立，则（
）
A． a 的最小值为 3 最大值为 4
B． a 的最小值为 4
1
化简可得
x2
x 3x
1
x
1 1
3
x
0
，令
f
x
x
1 x
x
0
，这
x
是一个对勾函数，故而可得 f x x 1 f 1 2 。故而分母 x 1 3 f x 3 5 ，
x
x
代入分式函数取倒数可得 0
x
1 1
3
1 5
x2
x 1
3x
max
1 5
因此可得： a
1 5
。
x
问题 2：“1”的代换
解析：由题意可得函数图像恒过定点 A1,1 ，将点 A1,1 代入直线方程 mx ny 1中
可得