人教版初中数学三角形经典测试题含答案一、选择题1.如图11-3-1,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C,点E在边AB上,∠AED=60°,则一定有()A.∠ADE=20°B.∠ADE=30°C.∠ADE=12∠ADC D.∠ADE=13∠ADC【答案】D【解析】【分析】【详解】设∠ADE=x,∠ADC=y,由题意可得,∠ADE+∠AED+∠A=180°,∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°,即x+60+∠A=180①,3∠A+y=360②,由①×3-②可得3x-y=0,所以13x y,即∠ADE=13∠ADC.故答案选D.考点:三角形的内角和定理;四边形内角和定理.2.把一副三角板如图(1)放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AB=4,CD=5.把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图2),此时AB与CD1交于点O,则线段AD1的长度为()A.13B.5C.22D.4【答案】A【解析】试题分析:由题意易知:∠CAB=45°,∠ACD=30°.若旋转角度为15°,则∠ACO=30°+15°=45°.∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°.在等腰Rt△ABC中,AB=4,则AO=OC=2.在Rt△AOD1中,OD1=CD1-OC=3,由勾股定理得:AD1=13.故选A.考点: 1.旋转;2.勾股定理.3.如图,在△ABC中,AC=BC,D、E分别是AB、AC上一点,且AD=AE,连接DE并延长交BC的延长线于点F,若DF=BD,则∠A的度数为()A.30 B.36 C.45 D.72【答案】B【解析】【分析】由CA=CB,可以设∠A=∠B=x.想办法构建方程即可解决问题;【详解】解:∵CA=CB,∴∠A=∠B,设∠A=∠B=x.∵DF=DB,∴∠B=∠F=x,∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=∠B+∠F=2x,∴x+2x+2x=180°,∴x=36°,故选B .【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.4.如图,△ABC 中,AB =AC =10,BC =12,D 是BC 的中点,DE ⊥AB 于点E ,则DE 的长为( )A .65B .85C .125D .245【答案】D【解析】【分析】连接AD ,根据已知等腰三角形的性质得出AD ⊥BC 和BD=6,根据勾股定理求出AD ,根据三角形的面积公式求出即可.【详解】解:连接AD∵AB=AC ,D 为BC 的中点,BC=12, ∴AD ⊥BC ,BD=DC=6, 在Rt △ADB 中,由勾股定理得:22221068AB BD =+=, ∵S △ADB=12×AD×BD =12×AB×DE , ∴DE=8624105AD BD AB ⨯⨯==, 故选D .【点睛】本题考查了等腰三角形的性质(等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合)、勾股定理和三角形的面积,能求出AD 的长是解此题的关键.5.如图,在ABC 中,AB AC =,30A ∠=︒,直线a b ∥,顶点C 在直线b 上,直线a 交AB 于点D ,交AC 与点E ,若1145∠=︒,则2∠的度数是( )A .30°B .35°C .40°D .45°【答案】C【解析】【分析】 先根据等腰三角形的性质和三角形内角和可得ACB ∠度数,由三角形外角的性质可得AED ∠的度数,再根据平行线的性质得同位角相等,即可求得2∠.【详解】∵AB AC =,且30A ∠=︒, ∴18030752ACB ∠︒-︒==︒, 在ADE ∆中,∵1145A AED ∠∠∠=+=︒,∴14514530115AED A ∠∠=︒-=︒-︒=︒,∵//a b ,∴2AED ACB ∠∠∠=+,即21157540∠=︒-︒=︒,故选:C .【点睛】 本题考查综合等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质以及平行直线的性质等知识内容.等腰三角形的性质定理:等腰三角形两底角相等;三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180︒;三角形外角的性质:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和;两直线平行,同位角相等.6.如图,已知AB ∥CD ,直线AB ,CD 被BC 所截,E 点在BC 上,若∠1=45°,∠2=35°,则∠3=( )A .65°B .70°C .75°D .80°【答案】D【解析】【分析】由平行线的性质可求得∠C ,在△CDE 中利用三角形外的性质可求得∠3.【详解】解:∵AB ∥CD ,∴∠C =∠1=45°,∵∠3是△CDE 的一个外角,∴∠3=∠C+∠2=45°+35°=80°,故选:D .【点睛】本题主要考查平行线的性质,掌握平行线的性质和判定是解题的关键,即①两直线平行⇔同位角相等,②两直线平行⇔内错角相等,③两直线平行⇔同旁内角互补,④a ∥b ,b ∥c ⇒a ∥c .7.如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,以点B 为圆心,适当长为半径的画弧,分别交BA ,BC 于点M 、N ;再分别以点M 、N 为圆心,大于12MN 的长为半径画弧,两弧交于点P ,作射线BP 交AC 于点D ,则下列说法中不正确的是()A .BP 是∠ABC 的平分线B .AD=BDC .:1:3CBD ABD S S D .CD=12BD 【答案】C【解析】【分析】 A 、由作法得BD 是∠ABC 的平分线,即可判定;B 、先根据三角形内角和定理求出∠ABC 的度数,再由BP 是∠ABC 的平分线得出∠ABD =30°=∠A,即可判定;C ,D 、根据含30°的直角三角形,30°所对直角边等于斜边的一半,即可判定.【详解】解:由作法得BD 平分∠ABC ,所以A 选项的结论正确;∵∠C =90°,∠A =30°,∴∠ABC =60°,∴∠ABD =30°=∠A ,∴AD =BD ,所以B 选项的结论正确;∵∠CBD=12∠ABC=30°,∴BD=2CD,所以D选项的结论正确;∴AD=2CD,∴S△ABD=2S△CBD,所以C选项的结论错误.故选:C.【点睛】此题考查含30°角的直角三角形的性质,尺规作图(作角平分线),解题关键在于利用三角形内角和进行计算.8.如图,在菱形ABCD中,AB=10,两条对角线相交于点O,若OB=6,则菱形面积是()A.60 B.48 C.24 D.96【答案】D【解析】【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD,AO=CO,BO=DO=6,由勾股定理可求AO的长,即可求解.【详解】解:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO=6,∴AO22100368AB OB-=-=,∴AC=16,BD=12,∴菱形面积=12162⨯=96,故选:D.【点睛】本题考查了菱形的性质,勾股定理,掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键.9.如图,已知OP 平分∠AOB ,∠AOB =60°,CP =2,CP ∥OA ,PD ⊥OA 于点D ,PE ⊥OB 于点E .如果点M 是OP 的中点,则DM 的长是( )A .2B 2C 3D .3【答案】C【解析】【分析】 由OP 平分∠AOB ,∠AOB=60°,CP=2,CP ∥OA ,易得△OCP 是等腰三角形,∠COP=30°,又由含30°角的直角三角形的性质,即可求得PE 的值,继而求得OP 的长,然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可求得DM 的长.【详解】解:∵OP 平分∠AOB ,∠AOB=60°,∴∠AOP=∠COP=30°,∵CP ∥OA ,∴∠AOP=∠CPO ,∴∠COP=∠CPO ,∴OC=CP=2,∵∠PCE=∠AOB=60°,PE ⊥OB ,∴∠CPE=30°,∴CE=12CP=1, ∴22CP CE 3-=, ∴3∵PD ⊥OA ,点M 是OP 的中点,∴DM=123. 故选C . 考点:角平分线的性质;含30度角的直角三角形;直角三角形斜边上的中线;勾股定理.10.如图,在ABC ∆中,33B ∠=︒,将ABC ∆沿直线m 翻折,点B 落在点D 的位置,则12∠-∠的度数是( )A.33︒B.56︒C.65︒D.66︒【答案】D【解析】【分析】由折叠的性质得到∠D=∠B,再利用外角性质即可求出所求角的度数.【详解】解:如图,由折叠的性质得:∠D=∠B=33°,根据外角性质得:∠1=∠3+∠B,∠3=∠2+∠D,∴∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+2∠B=∠2+66°,∴∠1-∠2=66°.故选:D.【点睛】此题考查了翻折变换以及三角形外角性质的运用,熟练掌握折叠的性质是解本题的关键.折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.11.对于图形的全等,下列叙述不正确的是()A.一个图形经过旋转后得到的图形,与原来的图形全等B.一个图形经过中心对称后得到的图形,与原来的图形全等C.一个图形放大后得到的图形,与原来的图形全等D.一个图形经过轴对称后得到的图形,与原来的图形全等【答案】C【解析】A. 一个图形经过旋转后得到的图形,与原来的图形全等,正确,不符合题意;B. 一个图形经过中心对称后得到的图形,与原来的图形全等,正确,不符合题意;C. 一个图形放大后得到的图形,与原来的图形不全等,故错误,符合题意;D. 一个图形经过轴对称后得到的图形,与原来的图形全等,正确,不符合题意,故选C.【点睛】本题考查了对全等图形的认识,解题的关键是要明确通过旋转、轴对称、平移等都可以得到与原图形全等的图形,而通过放大或缩小只能得到与原图形形状一样的图形,得不到全等图形.12.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点M,若CD=8 cm,MB=2 cm,则直径AB的长为()A.9 cm B.10 cm C.11 cm D.12 cm【答案】B【解析】【分析】由CD⊥AB,可得DM=4.设半径OD=Rcm,则可求得OM的长,连接OD,在直角三角形DMO中,由勾股定理可求得OD的长,继而求得答案.【详解】解:连接OD,设⊙O半径OD为R,∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点M,∴DM=12CD=4cm,OM=R-2,在RT△OMD中,OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,解得:R=5,∴直径AB的长为:2×5=10cm.故选B.【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理.注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用.13.如图,在ABC 中,90C ∠=︒,60CAB ∠=︒,按以下步骤作图:①分别以A ,B 为圆心,以大于12AB 的长为半径画弧,两弧分别相交于点P 和Q . ②作直线PQ 交AB 于点D ,交BC 于点E ,连接AE .若4CE =,则AE 的值为( ) A .6B .2C .43D .8 【答案】D【解析】【分析】根据垂直平分线的作法得出PQ 是AB 的垂直平分线,进而得出∠EAB =∠CAE =30°,即可得出AE 的长.【详解】由题意可得出:PQ 是AB 的垂直平分线,∴AE =BE ,∵在△ABC 中,∠C =90°,∠CAB =60°,∴∠CBA =30°,∴∠EAB =∠CAE =30°, ∴CE =12AE =4, ∴AE =8.故选D .【点睛】 此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中,30°所对直角边等于斜边的一半,根据已知得出∠EAB =∠CAE =30°是解题关键.14.如图,在ABC ∆中,AB AC =,分别是以点A ,点B 为圆心,以大于12AB 长为半径画弧,两弧交点的连线交AC 于点D ,交AB 于点E ,连接BD ,若40A ∠=︒,则DBC ∠=( )A .40︒B .30︒C .20︒D .10︒【答案】B【解析】【分析】 根据题意,DE 是AB 的垂直平分线,则AD=BD ,40ABD A ==︒∠∠,又AB=AC ,则∠ABC=70°,即可求出DBC ∠.【详解】解:根据题意可知,DE 是线段AB 的垂直平分线,∴AD=BD ,∴40ABD A ==︒∠∠,∵AB AC =, ∴1(18040)702ABC ∠=⨯︒-︒=︒, ∴704030DBC ∠=︒-︒=︒;故选:B.【点睛】 本题考查了垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,以及三角形的内角和,解题的关键是熟练掌握所学的性质,正确求出DBC ∠的度数.15.1035边长是( )A .3B .3C .5D .6【答案】D【解析】【分析】根据题意画出图形,利用勾股定理解答即可.【详解】设AC =b ,BC =a ,分别在直角△ACE 与直角△BCD 中,根据勾股定理得到:2222 10235,2a b b a ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩两式相加得:2236a b +=,根据勾股定理得到斜边36 6.==故选:D.【点睛】考查勾股定理,画出图形,根据勾股定理列出方程是解题的关键.16.如图,AD ∥BC ,∠C =30°, ∠ADB:∠BDC= 1:2,则∠DBC 的度数是( )A .30°B .36°C .45°D .50°【答案】D【解析】【分析】 直接利用平行线的性质得出∠ADC=150°,∠ADB=∠DBC,进而得出∠ADB 的度数,即可得出答案.【详解】∵AD ∥BC,∠C=30°∴∠ADC=150°,∠ADB=∠DBC∵∠ADB:∠DBC=1:2∴∠ADB=13×150°=50°,故选D. 【点睛】熟练掌握平行线的性质是本题解题的关键.17.如图,已知AE=AD ,AB=AC ,EC=DB ,下列结论:①∠C=∠B;②∠D=∠E;③∠EAD=∠BAC;④∠B=∠E;其中错误的是()A.①②B.②③C.③④D.只有④【答案】D【解析】【分析】【详解】解:因为AE=AD,AB=AC,EC=DB;所以△ABD≌△ACE(SSS);所以∠C=∠B,∠D=∠E,∠EAC=∠DAB;所以∠EAC-∠DAC=∠DAB-∠DAC;得∠EAD=∠CAB.所以错误的结论是④,故选D.【点睛】此题考查了全等三角形的判定方法,根据已知条件利用SSS证明两个三角形全等,还考查了全等三角形的性质:全等三角形的对应角相等,全等三角形的对应边相等.18.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架,如图.要使这个木架不变形,他至少还要再钉上几根木条?().A.0根B.1根C.2根D.3根【答案】B【解析】三角形具有稳定性,连接一条对角线,即可得到两个三角形,故选B19.△ABC中,AB=AC,∠A=36°,∠ABC和∠ACB的平分线BE、CD交于点F,则共有等腰三角形( )A.7个B.8个C.9个D.10个【答案】B【解析】∵等腰三角形有两个角相等,∴只要能判断出有两个角相等就行了,将原图各角标上后显示如左下:因此,所有三角形都是等腰三角形,只要判断出有哪几个三角形就可以了.如右上图,三角形有如下几个:①,②,③;①+②,③+②,①+④,③+④;①+②+③+④;共计8个. 故选:B.点睛:本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质,此题难度不大,解题的关键是求得各角的度数,掌握等角对等边与等边对等角定理的应用.20.如图,在ABC 中,AB AC =,点E 在AC 上,ED BC ⊥于点D ,DE 的延长线交BA 的延长线于点F ,则下列结论中错误的是( )A .AE CE =B .12DEC BAC ∠=∠ C .AF AE =D .1902B BAC ∠+∠=︒ 【答案】A【解析】【分析】 由题意中点E 的位置即可对A 项进行判断;过点A 作AG ⊥BC 于点G ,如图,由等腰三角形的性质可得∠1=∠2=12BAC ∠,易得ED ∥AG ,然后根据平行线的性质即可判断B 项;根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可判断C 项;由直角三角形的性质并结合∠1=12BAC ∠的结论即可判断D 项,进而可得答案. 【详解】 解:A 、由于点E 在AC 上,点E 不一定是AC 中点,所以,AE CE 不一定相等,所以本选项结论错误,符合题意;B 、过点A 作AG ⊥BC 于点G ,如图,∵AB =AC ,∴∠1=∠2=12BAC ∠, ∵ED BC ⊥,∴ED ∥AG ,∴122DEC BAC ∠=∠=∠,所以本选项结论正确,不符合题意;C 、∵ED ∥AG ,∴∠1=∠F ,∠2=∠AEF ,∵∠1=∠2,∴∠F =∠AEF ,∴AF AE =,所以本选项结论正确,不符合题意;D 、∵AG ⊥BC ,∴∠1+∠B =90°,即1902B BAC ∠+∠=︒,所以本选项结论正确,不符合题意.故选:A .【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质以及直角三角形的性质等知识,属于基本题型,熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键.。