的傅里叶变换
。
所以根据频域卷积定理 有
即
十三、帕塞瓦尔定理 若
则
/jp2005/…/3-5.htm
9/11
2012/2/8
可推广 若 为实函数，则 若 , 为实函数，则
3-5傅里叶变换的基本性质
例3-19 求
。
解： 因
又
由帕塞瓦尔定理可得
十四、奇偶性 若 (1) 当 为实函数时，则
理是将信号 乘以所谓载频信号
或
，即
/jp2005/…/3-5.htm
4/11
2012/2/8
3-5傅里叶变换的基本性质
七、时域微分性 若
则
证明 因为 两边对t求导数，得 所以 同理，可推出
例3-10 求 解: 因为
的频谱函数
。
由时域微分性
例3-11 图3-22所示信号 为三角形函数
例3-13 根据 解: 因为
又
和积分性求
根据时域积分性
/jp2005/…/3-5.htm
的频谱函数。
6/11
2012/2/8
3-5傅里叶变换的基本性质
例3-14 求图3-23所示信号 的频谱函数
。
解:
对 求两次微分后，得
且
由时域积分性
十、频域积分性 若
则
例3- 15 已知 解: 因为
求其频谱函数 解: 将
。 微分两次后，得到图3-22(c)所示函数，其表达式为
由微分性
所以
/jp2005/…/3-5.htm
5/11
2012/2/8
3-5傅里叶变换的基本性质
八、频域微分性 若
则
例3-12 求 解: 因为
的频谱函数
。
根据频域微分性
九、时域积分性 若
则
的频谱函数
。
解: 根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有
六、频移性 若
则
证明
证毕
频移性说明若信号 乘以 ，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以 ，这就使频
谱中的每条谱线都必须平移 ，亦即整个频谱相应地搬移了 位置。频谱搬移技术在通信系统得到
了广泛应用，诸如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。频谱搬移实现原
，则
若 为实偶函数，即
，则
若 为实奇函数，即
，则
(2) 当 为虚函数，即
时，则
傅里叶变换的基本性质归纳如表3-3所示。
表3-3傅里叶变换的基本性质
/jp2005/…/3-5.htm
10/11
2012/2/8
3-5傅里叶变换的基本性质
性质名称 1. 线性 2. 对称性 3. 折叠性 4. 尺度变换性
则
证明 因a＞0，由
令
，则
，代入前式，可得
函数
表示 沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a倍，而
则表示
沿频率轴扩
展(或频率尺度压缩) a倍。
该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频
带的展宽倍数，反之亦然。
例3-8 已知
,求频谱函数
。
解 前面已讨论了
的频谱函数，且 根据尺度变换性，信号 比 的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数
1/11
20所12以/2/8
证毕 若
是一个偶函数，即
3-5傅里叶变换的基本性质
，相应有
，则式(3-56)成为
可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关 系，其幅度之比为常数 。式中的 表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如
例3-7 若信号 的傅里叶变换为
试求 。 解将
中的 换成t，并考虑
为 的实函数，有
该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为
根据对称性 故
再将
中的 换成t，则得
为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。
三、折叠性 若
则
/jp2005/…/3-5.htm
2/11
2012/2/8
3-5傅里叶变换的基本性质
四、尺度变换性 观看动画 若
，求
。
根据频域积分性
十一、时域卷积定理 若
则
/jp2005/…/3-5.htm
7/11
20则12/2/8 证明
3-5傅里叶变换的基本性质
例3-16 图3-24(a)所示的三角形函数
可看做为两个如图3－24(b)所示门函数
卷积。试利用时域卷积定理求其频谱函数
。
解： 因
又 所以
例3-17 一个信号 的希伯特变换 是 和 的卷积，即 解： 因为 则对称性
/jp2005/…/3-5.htm
8/11
2012/2/8
有
3-5傅里叶变换的基本性质
由时域卷积定理
即
十二、频域卷积定理 若
则
或 例3-18 利用频域卷积定理求 解： 因为
由对称性 有
5. 时移性 6. 频移性 7. 时域微分
8. 频域微分
9. 时域积分
10. 频域积分
11. 时域卷积 12. 频域卷积
13. 帕塞瓦尔定理
时域
频域
跳转至第六节

/jp2005/…/3-5.htm
11/11
2012/2/8
3-5傅里叶变换的基本性质
3-5 傅里叶变换的基本性质
傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常需要对信号的 时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基 本性质，并说明其应用。
一、线性 傅里叶变换是一种线性运算。若
则
其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。
例3-6 利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数
。
解
因
由式(3-55)得
二、对称性 若
证明 因为 有
将上式中变量 换为x，积分结果不变，即
再将t用 代之，上述关系依然成立，即
最后再将x用t代替，则得
所以
/jp2005/…/3-5.htm
两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。
/jp2005/…/3-5.htm
3/11
2012/2/8
3-5傅里叶变换的基本性质
五、时移性 若
则
此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。它表明若在时域 的振幅并不改变，但其相位却将改变 。
平移时间 ，则其频谱函数
例3-9 求