反比例函数的图像与性质
一、重点难点分析：
1.反比例函数的解析式有三种形式：y=k
x
,y=kx−1,xy=k(k为常数，k≠0）
2.用待定系数法求反比例函数的关系式分两步：一是设，设所求反比例函数的关系式的y=
k
x
，二是代，把已知的一组x，y的值代入上式，求出反比例系数k，归根结底求反比例函数关系式就是求比例系数。
3.反比例函数图像是关于原点对称的双曲线，双曲线的位置和增减性由比例系数k决定，
当K＞0，双曲线的两个分支分别位于第一，三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两个分支分别位于第二，四象限，在每一个象限内，y随x 的增大而增大，但两个分支都无限接近但永远不能到达x，y轴。
难点分析：
1.若两个变量之比等于定值（常数），则这两个变量成正比例；若两个变量之积等于定值
（常数），则这两个变量成反比例。
2.反比例函数y=k
x
的比例系数，自变量x的取值范围是x≠0，但在实际问题中，自变量的取值范围要符合实际意义。
3.反比例函数的图像既是中心对称图形（对称中心为原点），又是轴对称图形（对称轴是
一，三或二，四象限角平分线）
4.过反比例函数图像上的点作一条坐标轴的垂线段，则该点与垂足，原点组成的直角三角
形面积S=1
2|xy|=1
2
k，这一特征可用于解决与反比例函数有关的图形面积问题。
很多
人把这叫做k的几何意义。
5.反比例函数是最简单的函数，因为它只有一个字母系数。
考试出题的话，只能和几何图
形的面积融合在一起。
二、例题精选
例1.对于反比例函数y=1
x
，下列说法正确的是（）
A.图形经过（1，-1）
B.图像位于二、四象限
C.图像是中心对称图形
D.当x＜0时，y随x增大而增大
例2.如图，D是反比例函数y=k
x
(k＜0)的图象上一点，过D作DE⊥x轴于E，DC⊥y轴于
C，一次函数y=-x+m与y＝−−√3
3
x+2的图象都经过点C，与x轴分别交于A、B两点，四边形DCAE的面积为4，则k的值为______．
例3.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数y=m
x （m≠0）的图象相交于A、B两点。
（1）根据图象写出A、B两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出：当x为何值时，一次函数值大于反比例函数值。
例4.如图，已知直线AB与x轴交于点C，与双曲线y=k
x 相交于A（3，20
3
）、B（-5，a）
两点．AD⊥x轴于点D，BE∥x轴且与y轴交于点E．
（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；
（2）判断四边形CBED的形状，并说明理由；
（3）根据图象，直接写出当直线AB的函数值不大于双曲线的函数值时，自变量x的取值范围．
例5.如图，反比例函数y=k
x 的图像与一次函数y=1
4
x的图像相交于A，B两点，
点B的横坐标是4. P是第一象限内反比例函数图像上的动点，且在直线AB的上方．
⑴若点P的坐标是(1，4)，直接写出k的值和△PAB的面积；
⑵设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；
⑶设点Q是反比例函数图像上位于P、B之间的动点(与点P、B不重合)，连接AQ、
BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．
三、练一练
1.如图，反比例函数y=k
（k＞0）的图像与矩形ABCD的两边相交于E，F两点，若点E
x
是AB中点，S△BEF=2，则k的值为______．
2.如图.过点C（1，2）分别作x轴，y轴的平行线，交直线y=-x+6于A，B两点，若反比例
（x＞0）的图像与△ABC有公共点，则K的取值范围是（）函数y=k
x
A．2≤k≤9 B．2≤k≤8 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8
•
3.如图，点A，B是双曲线y=6
x
上的点，分别过点A，B做x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为___．
4.如图在等腰Rt△OBA和Rt△BCD中，∠OBA=∠BCD=90°，点A和C都在双曲线y=k
x
（k ＞0）上，则D的坐标为________
5.如图，已知点A（1，a）是反比例函数y=−3
x 的图像上一点，直线y=−1
2
x+1
2
与反比
例函数y=−3
x
的图像在第四象限的交点为点B。
（1）求直线AB的解析式；
（2）动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P的坐标
6.如图.反比例函数y=k
x
（x＞0）的图像与直线y=x交于点M，∠AMB=90°，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B，四边形OAMB的面积为6．
（1）求k的值；
（2）点P在反比例函数y=k
（（x>0）的图象上，若点P的横坐标为3，∠EPF=90°，
x
其两边分别与x轴的正半轴，直线y=x交于点E，F，问是否存在点E，使得PE=PF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（k＞0）的图像上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，7.如图，点A，B在反比例函数y=k
x
D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE 的面积的2倍，则k的值是．。