课时作业8 指数与指数函数一、选择题 1．化简4a 23 ·b － 13 ÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫－23a－ 13 b 23 的结果为( C )A ．－2a3b B ．－8a b C ．－6a bD ．－6ab2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1,则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞,－3)B ．(1,＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞,－3)∪(1,＋∞)解析:当a <0时,不等式f (a )<1为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1, 即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8,即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3, 因为0<12<1,所以a >－3, 此时－3<a <0；当a ≥0时, 不等式f (a )<1为a <1,所以0≤a <1. 故a 的取值范围是(－3,1),故选C.3．(湖南永州模拟)下列函数中,与函数y ＝2x －2－x 的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( B )A ．y ＝sin xB ．y ＝x 3C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝log 2x解析:y ＝2x －2－x 是定义域为R 的单调递增函数,且是奇函数．而y ＝sin x 不是单调递增函数,不符合题意；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是非奇非偶函数,不符合题意；y ＝log 2x 的定义域是(0,＋∞),不符合题意；y ＝x 3是定义域为R 的单调递增函数,且是奇函数符合题意．故选B.4．二次函数y ＝－x 2－4x (x >－2)与指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象的交点个数是( C )A ．3B ．2C ．1D ．0解析:因为函数y ＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4(x >－2),且当x ＝－2时,y ＝－x 2－4x ＝4,y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝4,则在同一直角坐标系中画出y ＝－x 2－4x (x >－2)与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象如图所示,由图象可得,两个函数图象的交点个数是1,故选C.5．(福建厦门一模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3,b ＝log 120.3,c ＝a b ,则a ,b ,c 的大小关系是( B )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．a <c <bD ．b <c <a解析:b ＝log 12 0.3>log 1212＝1>a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3,c ＝a b <a .∴c <a <b .故选B.6．已知a ,b ∈(0,1)∪(1,＋∞),当x >0时,1<b x <a x ,则( C ) A ．0<b <a <1B ．0<a <b <1C ．1<b <aD ．1<a <b解析:∵当x >0时,1<b x ,∴b >1. ∵当x >0时,b x <a x ,∴当x >0时,⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x>1.∴ab >1,∴a >b .∴1<b <a ,故选C.7.如图,在面积为8的平行四边形OABC 中,AC ⊥CO ,AC 与BO 交于点E .若指数函数y ＝a x (a >0,且a ≠1)经过点E ,B ,则a 的值为( A )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析:设点E (t ,a t ),则点B 的坐标为(2t,2a t )．因为2a t ＝a 2t ,所以a t ＝2.因为平行四边形OABC 的面积＝OC ×AC ＝a t ×2t ＝4t ,又平行四边形OABC 的面积为8,所以4t ＝8,t ＝2,所以a 2＝2,a ＝ 2.故选A.二、填空题8．不等式2x 2－x <4的解集为{x |－1<x <2}． 解析:∵2x 2－x <4,∴2x 2－x <22, ∴x 2－x <2,即x 2－x －2<0,解得－1<x <2.9．若直线y 1＝2a 与函数y 2＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点,则a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.解析:(数形结合法)当0<a <1时,作出函数y 2＝|a x －1|的图象,由图象可知0<2a <1,∴0<a <12；同理,当a >1时,解得0<a <12,与a >1矛盾． 综上,a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，12.10．已知函数f (x )＝2x－12x ,函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是0.解析:当x ≥0时,g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数,所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时,g (x )＝f (－x )＝2－x－12－x 为单调减函数,所以g (x )>g (0)＝0,所以函数g (x )的最小值是0.11．(湖南益阳调研)已知函数f (x )＝2x1＋a ·2x(a ∈R )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12对称,则a ＝1.解析:由已知,得f (x )＋f (－x )＝1, 即2x1＋a ·2x ＋2－x 1＋a ·2－x＝1, 整理得(a －1)[22x ＋(a －1)·2x ＋1]＝0,所以当a －1＝0,即a ＝1时,等式成立． 三、解答题12．设a >0,且a ≠1,函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14,求实数a 的值．解:令t ＝a x (a >0,且a ≠1),则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t >0)．①当0<a <1,x ∈[－1,1]时,t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ,此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16,解得a ＝－15(舍去)或a ＝13.②当a >1时,x ∈[－1,1],t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ,此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上是增函数． 所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14,解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．综上得a ＝13或3.13．(河南八市第一次测评)设函数f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0,＋∞)上具有不同的单调性,则M ＝(a －1)0.2与N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0.1的大小关系是( D )A ．M ＝NB ．M ≤NC ．M <ND ．M >N解析:因为f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0,＋∞)上具有不同的单调性,所以a >2,所以M ＝(a －1)0.2>1,N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0.1<1,所以M >N ,故选D.14．已知函数f (x )＝1－42a x ＋a (a >0,a ≠1)且f (0)＝0.(1)求a 的值；(2)若函数g (x )＝(2x ＋1)·f (x )＋k 有零点,求实数k 的取值范围； (3)当x ∈(0,1)时,f (x )>m ·2x －2恒成立,求实数m 的取值范围． 解:(1)对于函数f (x )＝1－42a x ＋a (a >0,a ≠1),由f (0)＝1－42＋a＝0,得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝1－42·2x ＋2＝1－22x ＋1.因为函数g (x )＝(2x ＋1)·f (x )＋k ＝2x ＋1－2＋k ＝2x －1＋k 有零点,所以函数y ＝2x 的图象和直线y ＝1－k 有交点,∴1－k >0,即k <1.(3)∵当x ∈(0,1)时,f (x )>m ·2x－2恒成立,即1－22x ＋1>m ·2x －2恒成立,亦即m <32x －22x (2x ＋1)恒成立,令t ＝2x,则t ∈(1,2),且m <3t －2t (t ＋1)＝3t ＋1t (t ＋1)＝1t ＋2t ＋1.由于y ＝1t ＋2t ＋1在t ∈(1,2)上单调递减,∴1t ＋2t ＋1>12＋22＋1＝76,∴m ≤76.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．已知实数a ,b 满足12>⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫22b >14,则( B )A ．b <2b －aB ．b >2b －aC ．a <b －aD ．a >b －a解析:由12>⎝ ⎛⎭⎪⎫12a,得a >1,由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ,得⎝ ⎛⎭⎪⎫222a >⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ,故2a <b ,由⎝ ⎛⎭⎪⎫22b >14,得⎝ ⎛⎭⎪⎫22b>⎝ ⎛⎭⎪⎫224,得b <4.由2a <b ,得b >2a >2,a <b2<2, ∴1<a <2,2<b <4.对于选项A,B,由于b 2－4(b －a )＝(b －2)2＋4(a －1)>0恒成立,故A 错误,B 正确；对于选项C,D,a 2－(b －a )＝a ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋14,由于1<a <2,2<b <4,故该式的符号不确定,故C,D 错误．故选B.16．已知max(a ,b )表示a ,b 两数中的最大值．若f (x )＝max(e |x |,e |x －2|),则f (x )的最小值为e.解析:由题意得,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥1，e |x －2|，x <1.当x ≥1时,f (x )＝e x ≥e(当x ＝1时取等号), 当x <1时,f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e, 因此x ＝1时,f (x )有最小值f (1)＝e.。