热点二 圆锥曲线的几何性质
1.椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系 (1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为 e＝ac＝ 1－ba2. (2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为 e＝ac＝ 1＋ba2. 2.双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±bax.注意离心率 e 与渐近线的斜 率的关系.
因为t2>0，所以0<d<1， 综合两种情况可知点P到直线l的距离的最小值的取值范围是(0,1].
2
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1.(2018·全国Ⅱ，文，6)双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 3，则其渐近线方程为
√A.y＝± 2x
B.y＝± 3x
C.y＝±
2 2x
D.y＝±
设与直线l平行且与抛物线C相切的直线方程为x－ty＋m＝0， 代入抛物线方程，得y2－4ty＋4m＝0，
所以Δ＝16t2－16m＝0，解得m＝t2， 所以与直线l平行且与抛物线C相切的直线方程为x－ty＋t2＝0， 所以点P到直线l的距离的最小值为直线x－ty＋t2＋1＝0与直线x－ty＋t2＝0的距离， 即 d＝|t2＋121＋－tt22|＝ 11＋t2，
2 2.
(2)(2019·内江、眉山等六市模拟)设点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，Q是C的准
线上的动点，直线l过Q且与OQ(O为坐标原点)垂直，则点P到l的距离的最小值的
取值范围是 A.(0,1)
√B.(0,1]
C.[0,1]
D.(0,2]
解析 抛物线C的准线方程是x＝－1， 若点Q的坐标为(－1,0)，此时直线l的方程为x＝－1， 显然点P到直线l的距离的最小值是1， 若点Q的坐标为(－1，t)，其中t≠0， 则直线 OQ 的斜率为 kOQ＝－t－1－0 0＝－t， 直线 l 的斜率为 kl＝－kOQ1＝1t ， 直线 l 的方程为 y－t＝1t (x＋1)，即 x－ty＋t2＋1＝0，
由圆的切线长定理知，|PM|＝|PN|，|F1M|＝|F1H|，|F2N|＝|F2H|， 故|MF1|－|NF2|＝2 3， 即|HF1|－|HF2|＝2 3， 设内切圆的圆心横坐标为x，即点H的横坐标为x， 故(x＋ 7)－( 7－x)＝2 3， ∴x＝ 3.
跟踪演练1 (1)(2019·银川质检)已知P是抛物线y2＝4x上一动点，定点A(0,2 2 )， 过点P作PQ⊥y轴于点Q，则|PA|＋|PQ|的最小值是__2__.
B.1，2＋3
7
D.1，2
解析 根据正弦定理可知ssiinn∠ ∠PPFF12FF21＝||PPFF21||， 所以||PPFF21||＝3ac，即|PF2|＝3ac|PF1|，PF1－PF2＝2a，
所以1－3acPF1＝2a，解得PF1＝36c－aca，
而PF1>a＋c，即36c－aca>a＋c，
(2)(2019·六安模拟)双曲线ax22－by22＝1(a>b>0)的左焦点为 F，离心率为 e，过点 F 且斜 率为 1 的直线交双曲线的渐近线于 A，B 两点，AB 中点为 M，若|FM|等于半焦距，
则 e2 等于 A. 3
√B. 2
C. 3或 2
D.3－ 3
解析 设双曲线的左焦点F(－c,0)， 则过F点且斜率为1的直线方程为y＝x＋c， 与渐近线方程 y＝±bax 联立可得 Ab－aca，b－bca，B－ba－c a，－－b－bca， 故 AB 中点坐标为 Mb2a－2ca2，b2b－2ca2， 则有|FM|＝ b2a－2ca2＋c2＋b2b－2ca22＝a22－b2bc2＝c， 即 a2＝(1＋ 2)b2，b2＝( 2－1)a2， c2＝a2＋b2＝ 2a2，e2＝ac22＝ 2.
热点三 圆锥曲线与圆、直线的综合问题
圆锥曲线与圆、直线的综合问题的注意点： (1)注意使用圆锥曲线的定义； (2)引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组； (3)注意用好平面几何性质； (4)涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解.
例 3 (1)(2019·六安联考)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cos∠AF2B， ∴(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－65(2a－3k)(2a－k)，
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a－3k＝0，a＝3k，
∴|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k， ∴|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2， ∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形.
又因点P在双曲线的右支上， 所以|PF1|－|PF2|＝2a， 因为|PF1|＝2|PF2|， 所以|PF2|＝2a； 因此 c2－2ac＝2a，即 c2－2ac＝4a2， 所以 e2－2e－4＝0，解得 e＝1± 5， 因为 e>1，所以 e＝1＋ 5.
(2)(2019·南充模拟)已知直线 x＋y＝1 与椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)交于 P，Q 两点， 且 OP⊥OQ(其中 O 为坐标原点)，若椭圆的离心率 e 满足 33≤e≤ 22，则椭圆长
为 F1，F2，右顶点为 A，以 A 为圆心，OA(O 为坐标原点)为半径的圆与双曲线 C
在第一象限的交点为 P，若 PF2⊥PA，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线 C 的离心率为
√A.1＋ 5
B.1＋ 3
C. 5
D. 3
解析 由题意可得|OA|＝a，|AF2|＝c－a，
因为 PF2⊥PA，所以|PF2|＝ c－a2－a2＝ c2－2ac，
整理得 3e2－4e－1<0，解得2－3
7 2＋ <e< 3
7 .
又因为离心率
e>1，所以
2＋ 1<e< 3
7 .
跟踪演练 2 (1)(2019·北京市海淀区模拟)椭圆 C1：x42＋y2＝1 与双曲线 C2：ax22－
by22＝1 的离心率之积为 1，则双曲线 C2 的两条渐近线的倾斜角分别为
A.π6，－π6
解析 由抛物线y2＝4x可知，其焦点坐标为F(1,0)，准线x＝－1， 设点P到其准线的距离为d，根据抛物线的定义， 可得d＝|PF|， 则点P到y轴的距离为|PQ|＝|PF|－1， 且|FA|＝ 12＋2 22＝3， 则|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|－1≥|FA|－1＝2(当且仅当A，P，F三点共线时取等号)， 所以|PA|＋|PQ|的最小值为2.
∴c＝
22a，椭圆的离心率
e＝ac＝
2 2.
(2)已知双曲线 M：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，F1F2＝ 2c.若双曲线 M 的右支上存在点 P，使sin∠aPF1F2＝sin∠3PcF2F1，则双曲线 M 的
离心率的取值范围为
√A.1，2＋3
7
C.(1,2)
例 2 (1)设 F1，F2 分别是椭圆 E：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点 F1 的直线 交椭圆 E 于 A，B 两点，若△AF1F2 的面积是△BF1F2 面积的三倍，cos∠AF2B＝35，
则椭圆 E 的离心率为
1 A.2
2 B.3
3 C. 2
√2 D. 2
解析 设|F1B|＝k(k>0)，依题意可得|AF1|＝3k，|AB|＝4k， ∴|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k. ∵cos∠AF2B＝35，在△ABF2 中，由余弦定理可得
(2)(2019·南充模拟)P是双曲线 x32－y42＝1的右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、 右焦点，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为
√A. 3
B.2
C. 7
D.3
解析 如图所示 F1(－ 7，0)，F2( 7，0)， 设内切圆与x轴的切点是点H，与PF1，PF2的切点分别为M，N， 由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝2 3，
∴椭圆长轴的取值范围是[ 5， 6].
跟踪演练 3 (1)(2019·合肥质检)已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为
F1，F2，右顶点为 A，上顶点为 B，以线段 F1A 为直径的圆交线段 F1B 的延长线于
点 P，若 F2B∥AP，则该椭圆的离心率是
3 A. 3
2 B. 3
3 C. 2
√2 D. 2
解析 因为点P在以线段F1A为直径的圆上，
所以AP⊥PF1，
又因为F2B∥AP，
所以F2B⊥BF1，
又因为|F2B|＝|BF1|，
所以△F1F2B是等腰直角三角形，
因为|OB|＝b，|OF2|＝c，
所以b＝c，|F2B|2＝c2＋b2＝a2＝2c2，
所以该椭圆的离心率
e＝ac＝
例且1F到双(1)曲(2线01C9·的梅渐州近质线检的)已距知离双为曲1，线则C：双ax曲22－线byC22 的＝方1(a程>0为，_bx_3>2_－0_)_y一_2_＝个__1焦_.点为F(2,0)，
解析 根据题意，双曲线C的中心为原点，点F(2,0)是双曲线C的一个焦点， 即双曲线的焦点在x轴上，且c＝2， 双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)， 其渐近线方程为 y＝±bax，即 ay±bx＝0， 又点 F 到渐近线的距离为 1，则有|－ab2＋×b22|＝1， 解得b＝1，则a2＝c2－b2＝3， 所以双曲线的方程为x32－y2＝1.
解析几何
主要内容 热点分类突破
真题押题精练
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热点一 圆锥曲线的定义与标准方程
热点二 圆锥曲线的几何性质
热点三 圆锥曲线与圆、直线的综合问题