第一讲 绝对值、有理数的巧算专题
一、知识梳理
1.非负数
一个数的绝对值是非负数，一个数的平方（四次方，六次方等偶次方）都是非负数. 即，0≥a ，02≥a ，为正整数）（其中n a n 02≥
2.裂项常用到的关系式
（1）b
a a
b b a 11+=+； （2）111)1(1+-=+a a a a ； （3）b a a b a a b +-=+11)(； （4）2
)1(321n n n ⨯+=++++Λ.
3.绝对值表示距离的应用
n n a x a x a x a x a x a x -+-++-+-+-+--14321Λ：表示求数x 分别到数 n n a a a a a a 、、、、、、14321-Λ的距离和（其中n n a a a a a a 、、、、、、14321-Λ是数轴 上依次排列的点表示的有理数）.
（1）当n 为偶数时，若1
22+≤≤n n a x a ，则原式有最小值；
（2）当n 为奇数时，若2
1+=n a x ，则原式有最小值.
4.乘方中的计算公式
（1）n n n b a b a ⨯=⨯)(； （2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-为偶数时当，为奇数时当，n a n a a n n n
)( 二、典例剖析
专题一：一个数的绝对值与其本身的关系的应用——a
a 例题1 用a 、
b 、
c 表示任意三个非零的有理数，求c
c b b a a ++的值.
【活学活用】
1.设0<a ,且x ≤a a
,则=--+21x x .
2.若0≠ab ，则b
b a a
+的取值不可能是（ ） A.0 B.1 C.2 D.-2
3.用a 、b 表示任意两个有理数，若0≠ab ，则ab
ab b b a a ++的取值可能是（ ） A. 0 B.1 C.3或1 D.3或-1
★4．三个有理a 、b 、c 满足0,0>++<c b a abc ,当x=c c
b b
a a
++时，代数式
29219+-x x 的值为 .
5.已知
1-=++c c b b a a ，试求abc abc ca ca bc bc ab ab +++的值.
6.已知：a 、b 、c 都不为0，且abc
abc c c b b a a +++的最大值为m ，最小值为n ，则 2004)(n m += .
7.已知0≠abc ，且M=abc abc
c c
b b
a a
+++，当a 、b 、c 取不同的值时，M 有（ ）
A ．惟一确定的值
B ．3种不同的取值
C ．4种不同的取值
D ．8种不同的取值
专题二：绝对值的非负性——0≥a
引例 若2)1(-a 与2+b 互为相反数，则2010)
(b a += .
例题2 若,,a b c 为整数，且19191a b
c a -+-=，试计算c a a b b c -+-+-的值.
【活学活用】
1.已知：1,,____a b a b a b +=-=且为整数，则.
2.如果02)31(2=-++y x ，则y x = .
3.若1+=m m ，则=+2010)14(m .
★4.如果,2-<x 那么x +-11等于（ ）
A.x --2
B.x +2
C.x
D.x -
★5.若x ＜2,则|x －2|+ |2+x|=_____________
★6.已知a 、b 、c 都是负数，且0=-+-+-c z b y a x ，则xyz 是（ ）
A.负数
B.非负数
C.正数
D.非正数
★7.如果2-x ＋x －2＝0，那么x 的取值范围是（ ）
A.x ＞2
B.x ＜2
C.x ≥ 2
D.x ≤2
8.已知0)3(254=++-y x ，求2010)2(y x +的值.
9.计算：若2)2(-a 与88|b - 1|2003 互为相反数，则a-b a+b
的值为？
★10..已知55)(2
+=+++b b b a ，且012=--b a ，求ab 的值.
专题三：绝对值表示距离的应用
解决数轴上两点之间的距离问题（数形结合的解题思想）
若数轴上点A 对应的数是a ，点B 对应的数是b ，则A 、B 两点之间的距离为数a 、b 的 差的绝对值，即b a AB -=.
例题3 如图，点A 、B 在数轴上对应的有理数分别为n m 、，则A 、B 间的距离是 .（用含n m 、的式子表示）
【活学活用】有理数c b a 、、在数轴上的位置如图所示.
m 0 n
B A
试化简：a b a c b c c +--++-.
例题4 绝对值表距离的应用
（1）51-+-x x 的最小值是 . （2）32-++x x 的最小值是 .
（3）421-+-++x x x 的最小值是 .
（4）试求7654321-+-+-+-+-+-+-x x x x x x x 的最小值.
（5）试求2010321-++-+-+-x x x x Λ的最小值.
（6）试求2011321-++-+-+-x x x x Λ的最小值.
【活学活用】(★)若x 为有理数，则173++++-x x x 的最小值为_____________.
专题四：乘方中的计算公式——n
n n b a b a ⨯=⨯)(
c b 0 a
例题5 已知14400151432133333=+++++Λ，求333333028642+++++Λ的 值.
专题五：整数的分解
例题6 若d c b a 、、、是互不相等的整数（d c b a <<<），且121=⨯⨯⨯d c b a ，求 d c b a +的值.
【活学活用】若d c b a 、、、是互不相等的正整数，且441=⨯⨯⨯d c b a ，求
d c b a +++的值.
专题六：有理数运算的技巧——裂项、凑整、换元
例题7 已知|321(2)0x y -+-=，求
111(1)(1)(2008)(2008)xy x y x y +++++++……的 值.
【活学活用】
1.已知|321(2)0x y -+-=，求
111(1)(1)(2008)(2008)xy x y x y +++++++……的值.
2.2012
20091141111181851521⨯++⨯+⨯+⨯+⨯Λ计算
.
3.计算1
111131517192153042567290110-+-+-+
例题8 计算：1＋
211+＋3211++＋…＋100993211+++++Λ
例题9 计算
8989889988999889999833333
++++
【活学活用】
1.计算2005×0.5-2006×
2.5-2007÷12.5．
2.计算89-899+8999-89999+…+89999999得（ ）
A.-818181810
B.-81818189
C.81818189
D.818181810
三、家庭作业
★1.已知ab 2c 3d 4e 5
<0,下列判断正确的是 （ ）
A ．abcde<0 B.ab 2cd 4e<0 C.ab 2cde<0 D.abcd 4
e<0
2.（-2）2004+3×（-2）2003的值为（ ）
A.-22003
B.22003
C.-22004
D.2
2004 3．已知，则当1=a 时，=2A __________，当1-=a 时， A=_______.
4.若一个数的绝对值是8，另一个数的绝对值是4，这两个数的乘积为负数，则这两个数 中，大数除以小数的商是 .
5.（2008佛山）若20072008a =
，20082009b =，则a ，b 的大小关系是a b .
6.计算：
2010
120071200712008120081200912009120101---+-+-.
7.11(23++…11)(120102+⨯++…11)(120092+-++…111)(201023+⨯++…1).2009
+
8.求)2009120101()2008120091(
)4151()3141()2131()121(-+-++-+-+-+-Λ的 值.
9.已知a 与b 互为相反数，x 与y 互为倒数，c 的绝对值等于2，求
c xy b a 3
12-++的值.
10.已知a 、b 、m 、n 、x 是有理数，且a 、b 互为相反数，m 、n 互为倒数，x 的绝 对值等于3.求201020092)()
()(mn b a mn b a x -+++++-的值.
11.有理数综合运算 020********)1()2(}375.0)16
1(]212)75.0(81[2)2(3{)21(2）（-+-⨯----÷+--⨯--⨯-----π
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