2019高中学业水平考试《数学》模拟试卷(三)一、选择题(本大题共25小题，第1～15题每小题2分，第16～25题每小题3分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1. 已知α＝130°，则角α的终边在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合A＝{|x(x＋2)(x－1)＝0}，那么下列结论正确的是()A. －2∈AB. 1∉AC. 2∈AD. －1∈A3. 函数y＝lg(x＋1)的定义域是()A. (0，＋∞)B. (－∞，＋∞)C. [－1，＋∞)D. (－1，＋∞)4. 如果直线x－2y－1＝0和y＝kx互相平行，则实数k的值为()A. 2B. 12 C. －2 D. 05. 已知a＝(2，4)，b＝(x，2)，且a⊥b，则x的值是()A. 4B. 1C. －1D. －46. 在空间中，下列命题正确的是()A. 平行于同一平面的两条直线平行B. 平行于同一直线的两个平面平行C. 垂直于同一直线的两条直线平行D. 垂直于同一平面的两条直线平行7. 焦点在x轴上，且a＝3，b＝2的双曲线的标准方程是()A. x23－y22＝1 B.y23－x22＝1 C.x29－y24＝1 D.y29－x24＝18. “x＝0”是“xy＝0”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件9. 在数列{a n}中，已知a n＋1＝2a n，且a1＝1，则数列{a n}的前五项的和等于()A. －25B. 25C. －31D. 3110. 若a>b，则下列各式正确的是()A. a＋2>b＋2B. 2－a>2－bC. －2a>－2bD. a2>b211. 不等式(x＋1)(x＋2)<0的解集是()A. {|x－2<x<－1}B. {|x x<－2或x>－1}C. { |x 1<x <2}D. { |x x <1或x >2}12. 在△ABC 中，a ＝2，b ＝2，∠A ＝π4，则∠B ＝( ) A. 30° B. 30°或150°C. 60°D. 60°或120°13. 在不等式2x ＋y －6<0表示的平面区域内的点是( )A. (0，1)B. (5，0)C. (0，7)D. (2，3)14. 函数y ＝cos 2x －sin 2x 是( )A. 周期为2π的奇函数B. 周期为2π的偶函数C. 周期为π的奇函数D. 周期为π的偶函数15. 计算8·sin 15°·cos 15°·cos 30°·cos 60°的结果为( )A. －12B. 12C. －32D. 3216. 圆x 2＋y 2－ax ＋2＝0经过点A (3，1)，则圆的半径为( )A. 8B. 4C. 2D. 217. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1经过(－5，0)和(0，4)，则它的离心率为( ) A. 54 B. 53 C. 45 D. 3518. 设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＝n 2＋n ＋c ，则c 的值为( )A. －1B. 1C. 0D. 2(第19题)19. 如图为函数y ＝m ＋log n x 的图象，其中m ，n 为常数，则下列结论正确的( )A. m <0，n >1B. m >0，n >1C. m >0，0<n <1D. m <0，0<n <120. 平面上满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤0，x －y －6≤0的点(x ，y )形成的区域为D ，且区域D 和E 关于直线y ＝2x －1对称，则区域D 和区域E 中距离最近的两点的距离为( )A. 3B. 5C. 2 5D. 421. 函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( )A. (2, 1)B. (1，0)C. (0，1)D. (1，2)22. 已知AB →＝(3，－1)，n ＝(2，1)，且n ·AC →＝7，则n ·BC →＝( )A. －2B. 0C. 2D. －2或223. 若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x(k 为常数)在定义域上为奇函数，则k 的值为( ) A. 1 B. －1 C. 0 D. －1或124. 某同学研究了①y ＝x －1；②y ＝x －2；③y ＝x 3；④y ＝x 13其中的一个函数，并给出两个性质：(1)定义域是{x |x ∈R 且x ≠0}；(2)值域是{y |y ∈R 且y ≠0}，如果他给出的两个性质中，有一个正确，一个错误，则他研究的函数是( )A. ①B. ②C. ③D. ④(第25题)25. 如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2(a ，b ＞0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率是( )A. 2 33B. 62C. 2D. 3二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)26. 抛物线y 2＝2x 的通径为________．27. 在△ABC 中，∠A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c ＝________． 28. y ＝log a x (a >1)在[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为________．29. 若点P (x ，y )在直线x ＋2y －4＝0上运动，则它的横、纵坐标之积的最大值是________．30. 若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|AB →－AC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．三、解答题(本大题共4小题，第31，32题每题7分，第33，34题每题8分，共30分)31. (本题7分)已知0<α<π2，sin α＝45. (1)求tan α的值；(2)求cos2α＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2的值．32. (本题7分，有A、B两题，任选其中一题完成，两题都做，以A题计分)(A)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，点E、F分别是PD、BC的中点．(1)求证：EF∥平面PAB；(2)求证：AD⊥PB.,[第32题(A)]),[第32题(B)])(B)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)若二面角A′－MN－C为直二面角，求λ的值．33. (本题8分)在等差数列{a n}中，a7＝4，a19＝2a9.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝1na n，求数列{b n}的前n项和S n.34. (本题8分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，求证：直线l 必过一定点，并求出该定点．2019高中学业水平考试《数学》模拟试卷(三)1. B2. A3. D4. B5. D6. D7. C8. B 9. D 10. A 11. A 12. A 13. A 14. D15. D 16. D 17. D 18. C 19. D 20. C21. C 22. C 23. D 24. B25. B [提示：|OB |＝b ，|O F 1|＝c .∴k PQ ＝b c ，k MN ＝－b c .直线PQ 为：y ＝b c(x ＋c )，两条渐近线为：y ＝b a x .由⎩⎨⎧y ＝b c （x ＋c ），y ＝b a x ，得Q (ac c －a ，bc c －a )．由⎩⎨⎧y ＝b c （x ＋c ），y ＝－b a x ，得P (－ac c ＋a ，bc c ＋a )．∴直线MN 为y －bc c ＋a ＝－b c (x －－ac c ＋a )，令y ＝0得x M ＝c 3c 2－a 2.又∵|MF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴3c ＝x M ＝c 3c 2－a 2，解得e 2＝c 2a a＝32，即e ＝62.] 26. 2 27. 2 28. 32 29. 230. 直角三角形 [解析：|BC →|＝|BA →＋CA →|，根据平行四边形法则，对角线相等，所以∠A 为直角．]31. 解：(1)∵cos α＝35，∴tan α＝43. (2)cos2α＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝1－2sin 2α＋cos α＝825. 32. (A)证明：(1)取PA 的中点G ，连接BG ，EG ，则EG 綊BF ，∴四边形BFEG 为平行四边形，∴EF ∥BG ，∴EF ∥平面PAB . (2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD ，又AB ⊥AD ，∴AD ⊥平面PAB ，∴AD ⊥PB . (B)(1)连接AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，∴M 为AB ′的中点．又∵N 为B ′C ′的中点，∴MN ∥AC ′，又∵MN ⊄平面A ′ACC ′，AC ′⊂平面A ′ACC ′，∴MN ∥平面A ′ACC ′.(第32题)(2)以A 为坐标原点，分别以直线AB ，AC ，AA ′为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系Oxyz ，如图所示，设AA ′＝1，则AB ＝AC ＝λ，于是A (0，0，0)，B (λ，0，0)，C (0，λ，0)，A ′(0，0，1)，B ′(λ，0，1)，C ′(0，λ，1)，∴M ⎝⎛⎭⎫λ2，0，12，N ⎝⎛⎭⎫λ2，λ2，1.设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A ′MN 的法向量，得⎩⎨⎧λ2x 1－12z 1＝0，λ2y 1＋12z 1＝0，可取m ＝(1，－1，λ)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面MNC 的法向量，得⎩⎨⎧－λ2x 2＋λ2y 2－z 2＝0，λ2y 2＋12z 2＝0，可取n ＝(－3，－1，λ)，∵二面角A ′－MN －C 为直二面角，∴m ·n ＝0，即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得λ＝ 2.33. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则 a n ＝a 1＋(n －1)d .∵⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝4，a 19＝2a 9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝4，a 1＋18d ＝2（a 1＋8d ），解得a 1＝1，d ＝12. ∴{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12. (2)b n ＝1na n ＝2n （n ＋1）＝2n －2n ＋1，∴S n ＝⎝⎛⎭⎫21－22＋⎝⎛⎭⎫22－23＋…＋⎝⎛⎭⎫2n －2n ＋1＝2n n ＋1.34. 解：(1)由题意：抛物线焦点为(1，0)，设l ：x ＝ty ＋1代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty－4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2，＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)设l ：x ＝ty ＋b 代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2，＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2，∴直线l 过定点(2，0)．。