专训2 反比例函数与一次函数的综合应用
名师点金：反比例函数单独考查的时候很少，与一次函数综合考查的情况较多，其考查形式有：两种函数图象在同一坐标系中的情况，两种函数的图象与性质，两种函数图象的交点情况、交点坐标，用待定系数法求函数表达式及求与函数图象有关的几何图形的面积等．
反比例函数图象与一次函数图象的位置判断
1．【2015·兰州】在同一直角坐标系中，一次函数y ＝kx －k 与反比例函数y ＝k
x (k ≠0)的
图象大致是( )
2．一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝k
x (k ≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象如
图所示，则k ，b 的取值范围是( )
A ．k >0，b >0
B ．k <0，b >0
C ．k <0，b <0
D ．k >0，b <0
(第2题) (第3题) (第4题)
反比例函数与一次函数的图象与性质
3．(中考·仙桃】如图，正比例函数y 1＝k 1x 和反比例函数y 2＝k 2
x 的图象交于A (1，2)，B
两点，给出下列结论：
①k 1<k 2；②当x <－1时，y 1<y 2；③当y 1>y 2时，x >1；④当x <0时，y 2随x 的增大而减小．其中正确的有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
4．已知函数y 1＝x (x ≥0)，y 2＝4
x (x >0)的图象如图所示，则以下结论：
①两函数图象的交点A 的坐标为(2，2)； ②当x >2时，y 1>y 2； ③当x ＝1时，BC ＝2；
④两函数图象构成的图形是轴对称图形；
⑤当x 逐渐增大时，y 1随着x 的增大而增大，y 2随着x 的增大而减小． 其中正确结论的序号是____________．
反比例函数与一次函数的有关计算
类型1 利用点的坐标求面积
5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x ＋n 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与双曲线y ＝4
x
在第一象限内交于点C (1，m )．
(1)求m 和n 的值；
(2)过x 轴上的点D (3，0)作平行于y 轴的直线l ，分别与直线AB 和双曲线y ＝4
x 交于点
P ，Q ，求△APQ 的面积．
(第5题)
类型2 利用面积求点的坐标
6．【2015·兰州】如图，A ⎝⎛⎭⎫－4，1
2，B (－1，2)是一次函数y 1＝ax ＋b 与反比例函数y 2＝m
x
图象的两个交点，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D . (1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x 取何值时， y 1－y 2>0? (2)求一次函数表达式及m 的值．
(3)P 是线段AB 上一点，连接PC ，PD ，若△PCA 和△PDB 面积相等，求点P 的坐标．
(第6题)
参考答案
1．A 2.C
3．C 点拨：把点A (1，2)的坐标分别代入y ＝k 1x ，y ＝k 2
x 中，得k 1＝2，k 2＝2.所以①是
错误的，易知点B 的坐标为(－1，－2)，由图象可知②，④是正确的，当y 1＞y 2时，x >1或－1＜x ＜0，所以③是错误的，故选C .
4．①②④⑤
5．解：(1)把C (1，m )的坐标代入y ＝4x ，得m ＝4
1，∴m ＝4.
∴点C 的坐标为(1，4)．
把C (1， 4)的坐标代入y ＝2x ＋n ，得4＝2×1＋n ，解得n ＝2. (2)对于y ＝2x ＋2，令x ＝3，则y ＝2×3＋2＝8， ∴点P 的坐标为(3，8)．
令y ＝0，则2x ＋2＝0，得x ＝－1， ∴点A 的坐标为(－1，0)． 对于y ＝4x ，令x ＝3，则y ＝4
3.
∴点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫3，4
3. ∴PQ ＝8－43＝20
3，AD ＝3＋1＝4.
∴△APQ 的面积＝12AD ·PQ ＝12×4×203＝40
3
.
点拨：注意反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两个函数的表达式，解答这类题通常运用方程思想．
6．解：(1)在第二象限内，当－4<x <－1时，y 1－y 2>0. (2)∵双曲线y 2＝m x 过A ⎝⎛⎭⎫－4，12，∴m ＝－4×1
2＝－2. ∵直线y 1＝ax ＋b 过A ⎝⎛⎭⎫－4，1
2，B (－1，2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－4a ＋b ＝12，
－a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝1
2，b ＝52.
∴y 1＝12x ＋52
.
(第6题)
(3)设P ⎝⎛⎭⎫n ，12n ＋5
2，过P 作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ， ∴PM ＝12n ＋5
2，PN ＝－n .
∵S △PCA ＝S △PDB ， ∴12·AC ·CM ＝1
2
·BD ·DN ， 即12×12(n ＋4)＝12×1×⎝⎛⎭⎫2－12n －52，解得n ＝－52. ∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－52，5
4.。