复合函数零点问题专题训练
1．定义域和值域均为[-a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中：
(1)方程f[g(x)]=0有且仅有三个解；(2)方程g[f(x)]=0有且仅有三个解；(3)方程f[f(x)]=0有且仅有九个解；(4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。

那么，其中正确命题的个数是
()
A ．1
B.2
C.3
D.4(第1
题图)
解：选B.（1）方程f[g （x ）]=0有且仅有三个解；g （x ）有三个不同值，由于y=g （x ）是减函数，所以有三个解，正确；
（2）方程g[f （x ）]=0有且仅有三个解；从图中可知，f （x ）∈（0，a ）可能有1，2，3个解，不正确；
（3）方程f[f （x ）]=0有且仅有九个解；类似（2）不正确；
（4）方程g[g （x ）]=0有且仅有一个解．结合图象，y=g （x ）是减函数，故正确．2.已知函数1)(+=x xe x f ，
若函数2)()(2
++=x bf x f y 恰有四个不同的零点，则实数b 的取值范围是
（
）
A.)
22,(--∞ B.)
2,3(-- C.)
3,(--∞ D.(]
2
2,3--解：用求导方法得，f(x)在x =－1取得最大值1，在x=0取得最小值0，故0<a<1时，f(x)=a 有3个解，a>1时，f(x)=a,有1个解，2)()(2
++=x bf x f y 恰有四个不同的零点，则
2
t
+bt+2=0有两个不等根，1个在（0,1）内，另1个根大于1，令g(t)=
2
t
+bt+2,于是得，
⊿>0且g （0）>0且g(1)<0,解得b <－3，故选C ．思考：已知函数1
)(+=x xe x f ，若函数2)()(2
++=x bf x f y 恰有6个不同的零点，则
实数b 的取值范围是
（
）
3.(2013四川，理10)设函数f (x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，若曲线
a
a
x
y
f(x)O
a
a a
a
x
y g(x)
O a a
y ＝sin x 上存在点(x 0，y 0)使得f (f (y 0))＝y 0，则a 的取值范围是()．
A．[1，e]B．[e－1－1,1]C．[1，e＋1]D．[e－1－1，e＋1]解析：由题意可得，y 0＝sin x 0∈[－1,1]，
而由f (x
可知y 0∈[0,1]，当a ＝0时，f (x
为增函数，∴y 0∈[0,1]时，f (y 0
∴f (f (y 0
∴不存在y 0∈[0,1]使f (f (y 0))＝y 0成立，故B，D 错；
当a ＝e＋1时，f (x
y 0∈[0,1]时，只有y 0＝1时f (x )才有意义，而f (1)＝0，
∴f (f (1))＝f (0)，显然无意义，故C 错．故选A．
4.已知函数13)(23
+-=x x x f ，⎪⎩⎪⎨⎧
≤--->+=0
,860,41)(2
x x x x x
x x g ，则方程[]
)0(0)(>=-a a x f g 的解的个数不可能是（）A．3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案选A
5.设
2,1
,1(),()x x x x f x g x ≥<⎧⎪
=⎨⎪⎩
是二次函数，若f (g(x))的值域是[0,+∞)，则g(x)的值域是（
）
A(-∞,-1]∪[1,+∞)B(-∞,-1]∪[0,+∞)C[0,+∞)D[1,+∞)
【解析】
选C ．令f (g(x))=f(t),t=g(x),当t ∈(-∞,-1]∪[0,+∞)
或t ∈(-∞,-1]∪[0,1)或t ∈[0,+∞)时，f(t)的值域是[0,+∞)，而t=g(x)是二次函数，故选C ．
6.
某同学在研究函数()f x =的性质时，受到两点间距离公式的启
发，将)(x f 变形为2222)10()3()10()0()(++-+-+-=
x x x f ，则)(x f 表示
||||PB PA +（如图），下列关于函数)(x f 的描述：
①)(x f 的图象是中心对称图形；②)(x f 的图象是轴对称图形；
③函数)(x f 的值域为)+∞；
④方程[()]1f f x =.则描述正确的是
A.
①② B.②③C.③④
D.
①④
【解析】
选B.f(x)=f(3-x),对称轴x=32
,)(x f min=｜AB ｜=,由[()]110
f f x =+
得f(x)=0或f(x)=3Ï)
+∞7.已知函数1)(-=x x f ，关于x 的方程0)()(2=+-k x f x f ，给出下列四个命题：
①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实根；③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题的序号为____________
尝试题1：已知函数y=f（x）和y=g（x）在[﹣2，2]上的图象如图所示：给出下列四个命题：
①方程f[g（x）]=0有且仅有6个根；②方程g[f（x）]=0有且仅有3个根；
③方程f[f（x）]=0有且仅有7个根；④方程g[g（x）]=0有且仅有4个根．
其中正确命题的序号为．
解：①设t=g（x），则由f[g（x）]=0，即f（t）=0，则t1=0或﹣2＜t2＜﹣1或1＜t3＜2，当t1=0时，t=g（x）有2个不同值，
当﹣2＜t2＜﹣1时，t=g（x）有2个不同值，
当1＜t3＜2，时，t=g（x）有2个不同值，∴方程f[g（x）]=0有且仅有6个根，
故①正确．
②设t=f（x），若g[f（x）]=0，即g（t）=0，
则﹣2＜t1＜﹣1或0＜t2＜1，
当﹣2＜t1＜﹣1时，t=f（x）有1个不同值，
当0＜t2＜1时，t=f（x）有3个不同值，
∴方程g[f（x）]=0有且仅有4个根，故②错误．
③设t=f（x），若f[f（x）]=0，即f（t）=0，
则t1=0或﹣2＜t2＜﹣1或1＜t3＜2，
当t1=0时，t=f（x）有3个不同值，
当﹣2＜t2＜﹣1时，t=f（x）有1个不同值，
当1＜t3＜2，时，t=f（x）有1个不同值，∴方程f[f（x）]=0有且仅有5个根，故③错误．④设t=g（x），若g[g（x）]=0，即g（t）=0，
则﹣2＜t1＜﹣1或0＜t2＜1，
当﹣2＜t1＜﹣1时，t=g（x）有2个不同值，
当0＜t2＜1时，t=g（x）有2个不同值，∴方程g[g（x）]=0有且仅有4个根，故④正确．故正确的是①④.
尝试题2：定义域为R的函数f（x）=，
若关于x的函数h（x）=f2（x）+af（x）+有5个不同的零点x1，x2，x3，x4，x5，则
x12+x22+x32+x42+x52等于（）
A．15B．20C．30D．35
解：作函数f（x）=的图象如下，。