当前位置:文档之家› 高中数学函数零点问题及例题解析2018年高三专题复习-函数

高中数学函数零点问题及例题解析2018年高三专题复习-函数

高中数学2017-2018高三专题复习 -函数(3)函数零点问题及例题解析
一、函数与方程基本知识点
1、函数零点:(变号零点与不变号零点)
(1)对于函数)(x f y =,我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。

(2)方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。

若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线,则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。

2、二分法:对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =
,通过不断地把函数
()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似
值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧
零点是经常考察的重点,对此部分的做题方法总结如下:
(一)函数零点的存在性定理指出:“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且0)()(<b f a f ,那么,函数)(x f y =在区间(a,b )内有零点,即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。

根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点(或方程在某个区间上是否有根)时,一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件:如
例、函数x
x x f 2
)1ln()(-
+=的零点所在的大致区间是( ) (A )(0,1); (B )(1,2); (C ) (2,e ); (D )(3,4)。

分析:显然函数x
x x f 2
)1ln()(-
+=在区间[1,2]上是连续函数,且0)1(<f ,0)2(>f ,所以由根的存在性定理可知,函数x
x x f 2
)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是(1,2),选B
(二)求解有关函数零点的个数(或方程根的个数)问题。

函数零点的存在性定理,它仅能判断零点的存在性,不能求出零点的个数。

对函数零点的个数问题,我们可以通过适当构造函数,利用函数的图象和性质进行求解。

如:
1.对于求一个陌生函数的零点个数,若能把已知函数分解成两个熟悉的函数,那么可利用构造函数法化归为求两个熟悉函数图象的交点个数求解,如: 例.求x x x f 2)(2-=零点的个数。

分析:本题直接求解,无法下手,由函数x x x f 2)(2-=的零点也是方程02)(2=-=x x x f 的根,即方程x x 22=的解,但这个方程不是熟悉的常规方程,由方程的解与两函数图象交点的关系,可构造函数21x y =、x y 22=,在同一坐标系中作出它们的图象,可得出它们有三个交点,所以x x x f 2)(2-=零点的个数有三个。

2.对于一元高次函数,可利用导数法研究函数图象的特征,作出函数的图象,确定图象与X 轴交点的情况求解。

(导数专题再续讲)
(三)求函数的具体零点或求方程的根。

对于某些特殊类型的函数,可通过研究式子的特征,构造新函数,转化求解。

如:
例、求函数36)35()(55++++=x x x x f 的零点。

分析:考察036)35()(55=++++=x x x x f 的特点,直接求解难以入手,可转化为求
)()35()35(55x x x x +-=+++的解,根据式子特点构造函数x x x g +=5)(,显然)(x g 为奇函数,
且在R 上单调递增,由)()35()35(55x x x x +-=+++可化为)()()35(x g x g x g -=-=+,故利用函数)(x g 的性质可得x x -=+35,则21-
=x ,所以函数)(x f 的零点为2
1
-=x
基础练习
1、下列函数中,不能用二分法求零点的是( )答案 B
2、已知函数)(x f 的图象是连续的,有如下表。

函数)(x f 在区间]6,1[上的零点至少有( ) 答案C
x
1 2 3 4 5 6 )(x f
123.56 21.45 -7.82 11.57 53.76 -126.49
A .2个
B .3个
C .4个
D .5个
3. 设α、β分别是方程2log 40240x x x x +-=+-=和的根,则α+β= 。

答案4
4. 已知函数b a b
ax x x f ,()(2
+=为常数),且方程012)(=+-x x f 有两实根3和4 (1)求函数)(x f 的解析式; (2)设1>k ,解关于x 的不等式:x
k
x k x f --+<
2)1()(
解: (1)即方程
0122
=+-+x b
ax x 有两根3和4,所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=++=++084160939
b
a b
a 得 ⎩⎨
⎧=-=2
1b a 所以x x x f -=2)(2
(2)即x
k
x k x x --+<
-2)1(22整理的0))(1)(2(>---k x x x 21<<k 时,不等式的解集}21|{><<x k x x 或;2=k 时,不等式的解集}221|{><<x x x 或;2>k 时,不等式的解集}21|{k x x x ><<或。

相关主题