第三章自主检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．若直线x ＝2015的倾斜角为α，则α( )A ．等于0°B ．等于180°C ．等于90°D ．不存在2．点(0,5)到直线y ＝2x 的距离为( )5B. A ．1 C ．2 D ．23．一直线过点(0,3)，(－3,0)，则此直线的倾斜角为( )A ．45°B ．135°C ．－45°D ．－135°4．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．2x ＋y －1＝0B ．2x ＋y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋7＝05．已知点A (1,2)，B (3,1)，则线段AB 的垂直平分线的方程为( )A ．4x ＋2y ＝5B ．4x －2y ＝5C ．x ＋2y ＝5D ．x －2y ＝56．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝2x －1}，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．(2,3)C ．{(2,3)}D ．R7．已知A (－2,2)，B (2，－2)，C (8,4)，D (4,8)，则下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ＝BD ；④AC ⊥BD .其中正确的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B .－1C ．－2或－1D ．－2或19．已知点A (－3,8)，B (2,2)，点P 是x 轴上的点，则当|AP |＋|PB |最小时点P 的坐标是() ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0A ．(1,0) B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0C. 10．已知直线mx ＋4y －2＝0和2x －5y ＋n ＝0互相垂直，且垂足为(1，p )，则m －n ＋p 的值是( )A ．24B ．20C ．0D ．－4 二、填空题(每小题5分，共20分) 的值等于________．1b＋1a 0)共线，则≠ab )(b (0，C 0)，a,(B (2,2)，A 11．若三点 12．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是____________．13．经过点(－5,2)且在坐标轴上的截距相等的直线方程是________________． ＋5＝y －4x ：33l ，且与直线P －2＝0的交点y ＋x ：2l ＋4＝0和y －2x ：1l 14．经过两直线0垂直的直线l 的方程是__________．三、解答题(共80分)15．(12分)根据下列条件，求直线方程：经过点A(3,0)且与直线2x＋y－5＝0垂直．16．(12分)已知在Rt△ABC中，∠B为直角，AB＝a，BC＝b.建立适当的坐标系．证明：斜边AC的中点M到三个顶点的距离相等．17．(14分)求证：不论m为什么实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都通过一定点．18．(14分)在直线l：3x－y－1＝0上存在一点P，使得：P到点A(4,1)和点B(3,4)的距离之和最小．求此时的距离之和．19．(14分)光线从点Q(2,0)发出，射到直线l：x＋y＝4上的点E，经l反射到y轴上的点F，再经y轴反射又回到点Q，求直线EF的方程．20．(14分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合(如图3-1所示)．将矩形折叠，使点A落在线段DC上．(1)若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；3≤(2)当－2＋0时，求折痕长的最大值.k≤图3-1第三章自主检测1．C 2.B 3.A 4.A 5.B6．C 解析：解方程组可得交点(2,3)，A ∩B ＝{(2,3)}，7．B 8.D9．A 解析：的方程1AB 即为所求．由直线P ，点P 轴于x 交1AB (2，－2)，连接1B 轴的对称点x (2,2)关于B 作的坐标为(1,0)．P ＝1.则点x ＝0，则y －2＝0.令y ＋x ，得2x ＋32＋3＝y －8－2－8： 10．B－3＝0y ＋2x 12. 1211. ＋3＝0y ＋x 或x 25＝－y 13． ∵(0,2)．P 得交点⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0方法一：解方程组解析： －6＝0y ＋3x 14．443－2＝－y 的方程为l 直线∴.43的斜率为－l 直线∴，34的斜率为3l 直线(x －0)，即4x ＋3y －6＝0.λ，求得43斜率为－－2)＝0.由该直线的y ＋x (λ＋4＋y －2x 的方程为l 方法二：设所求直线的值11，即可以得到l 的方程为4x ＋3y －6＝0.15．x －2y －3＝016．证明：取边BA 所在的直线为x 轴，边BC 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系，如图D66，三个顶点坐标分别为A (a,0)，B (0,0)，C (0，b )，图D66.⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，b 2的坐标为M 的中点AC 由中点坐标公式，得斜边 ，a2＋b212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－b 22|＝MA |∵ ，a2＋b212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－b 22|＝MB | ，a2＋b212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b 22|＝MC | ∴|MA |＝|MB |＝|MC |.17．证法一：取m ＝1，得直线方程y ＝－4；＝9.x ，得直线方程12＝m 再取 从而得两条直线的交点为(9，－4)．又当x ＝9，y ＝－4时，有9(m －1)＋(－4)(2m －1)＝m －5，即点(9，－4)在直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5上． 故直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都通过定点(9，－4)．证法二：∵(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5，∴m (x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0.则直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都通过直线x ＋2y －1＝0与x ＋y －5＝0的交点．即过(9，－4)．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，由方程组 ∴直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5通过定点(9，－4)．证法三：∵(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5，∴m (x ＋2y －1)＝x ＋y －5.由m 为任意实数，知：关于m 的一元一次方程m (x ＋2y －1)＝x ＋y －5的解集为R ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，∴ ∴直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都通过定点(9，－4)．18．解：设点B 关于直线3x －y －1＝0的对称点为B ′(a ，b )，如图D67，图D67－1＝0.b ＋42－a ＋32，且3·13＝－b －4a －3则 .⎝ ⎛⎭⎪⎫35，245′B ∴，245＝b ，35＝a 解得 最小时，||PB ＋||PA 当 ||PA .26＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－352＋⎝⎛⎭⎪⎫1－2452＝||AB′＝||PB ＋ 的坐标为(－2,0)．1Q ，则1Q 轴的对称点为y 关于Q 设解：19． 上．l 在直线G ，点⎝⎛⎭⎪⎫m ＋22，n 2G 中点为2QQ )，则n ，m (2Q 的对称点为l 关于直线Q 设① ＝4，n2＋m ＋22∴② ＝1.nm －2∴，l ⊥2QQ ∵又 (4,2)．2Q ，得①②由 上，EF 在直线2Q ，1Q 由物理学知识可知，点 .13＝2Q 1kQ ＝EF k ∴ ＋2＝0.y －3x ＋2)，即x (13＝y 的方程为EF 直线∴ .12＝y 重合， 折痕所在的直线方程D 与点A ＝0时，此时点k 当①(1) 解：20． ②当k ≠0时，将矩形折叠后点A 落在线段DC 上的点记为G (a,1)，所以点A 与点G 关于折痕所在的直线对称，，k ＝－a ⇒＝－1k ·1a⇒＝－1k ·OG k 有 故点G 坐标为G (－k,1)，，⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，12M 的中点)为OG 的交点坐标(线段OG 从而折痕所在的直线与 .12＋k22＋kx ＝y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 2k ＝12－y 折痕所在的直线方程 .12＋k22＋kx ＝y ，得折痕所在的直线方程为①②由 (2)当k ＝0时，折痕的长为2；3当－2＋，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，k2＋12N 轴于点y ，交⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k ＋k22＋12M 于点BC <0时，折痕直线交k ≤ ，3)＝32－16 3(7－4 ×4＋4≤2k ＝4＋42⎣⎢⎡⎦⎥⎤k2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋k22＋12＋2＝22|MN |∵ )．2－6＝2(32－163折痕长度的最大值为∴ )．2－6)>2 ，故折痕长度的最大值为2(2－6而2(。