江苏省赣榆高级中学 直线与方程单元测试题一、填空题(5分×18=90分)1．若直线过点(3,－3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为 ；2. 如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11), 在同一直线上，那么k 的值是 ；3.两条直线023=++m y x 和0323)1(2=-+-+m y x m 的位置关系是 ；4.直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是 ；5. 经过点(－2,－3) , 在x 轴、y 轴上截距相等的直线方程是 ；6．已知直线0323=-+y x 和016=++my x 互相平行，则它们之间的距离是: 7、过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是:8.三直线ax +2y +8=0，4x +3y =10，2x －y =10相交于一点，则a 的值是:9．已知点)2,1(-A ，)2,2(-B ，)3,0(C ，若点),(b a M )0(≠a 是线段AB 上的一点，则直线CM 的斜率的取值范围是:10．若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线1l ：07=-+y x 和2l ：05=-+y x 上移动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为:11.与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线有______条.12．直线l 过原点，且平分□ABCD 的面积，若B (1, 4)、D (5, 0)，则直线l 的方程是 ．13．当10k 2<<时，两条直线1-=-k y kx 、k x ky 2=-的交点在 象限． 14．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 ；15.直线y=21x 关于直线x ＝1对称的直线方程是 ; 16.已知A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上， 则AC 所在直线方程是____________．17.光线从点()3,2A 射出在直线01:=++y x l 上，反射光线经过点()1,1B ,则反射光线所在直线的方程18．点A （1，3），B （5，－2），点P 在x 轴上使|AP |－|BP |最大，则P 的坐标为:二.解答题(10分×4+15分×2=70分)19．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为4，求直线l 的方程．20．（1）要使直线l 1：m y m m x m m 2)()32(22=-+-+与直线l 2：x -y=1平行，求m 的值.（2）直线l 1：a x +(1-a)y=3与直线l 2：(a -1)x +(2a+3)y=2互相垂直，求a 的值.21．已知∆A B C 中，A (1, 3)，AB 、AC 边上的中线所在直线方程分别为x y -+=210 和y -=10，求∆A B C各边所在直线方程．22.△ABC 中，A （3，－1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为：6x ＋10y －59=0，∠B 的平分线方程B T 为：x －4y ＋10=0，求直线BC 的方程.23． 已知函数x a x x f +=)(的定义域为),0(∞+，且222)2(+=f . 设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为N M 、． （1）求a 的值；（2）问：||||PN PM ⋅是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；（3）设O 为原点，若四边形OMPN 面积为1+2 求P 点的坐标24.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为２，宽为１，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图所示）。

将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上。

（1）若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程；（2）当230k -+≤≤时，求折痕长的最大值；（3）当21k -≤≤-时，折痕为线段PQ ，设2(2||1)t k PQ =-，试求t 的最大值。

答案：1. y ＝33x －4 2. －9 3.相交 4．[)(]2,00,2⋃- 5．x ＋y ＋5＝0或3x －2y =0 6. 26137 7． 052=-+y x 8.－1 9.][)+∞⋃--∞,125,( 10．2311. 2 12．y x =2313．二 14.,2x y =或03=-+y x 15、022=-+y x 16. x －2y －1＝0 17.4x 5y 10-+= 18. (13,0)19：(1)法一：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．法二：设直线过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立，所以x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0，解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程可化为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0， 解得k 的取值范围是k ≥0.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ， ∴A (－1＋2k k ，0)，B (0,1＋2k )，又－1＋2k k <0且1＋2k >0，∴k >0，故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k(1＋2k ) ＝12(4k ＋1k＋4)＝4， 即k ＝12，直线l 的方程为x －2y ＋4＝0. 20．解 （1）∵ l 2的斜率k 2＝1， l 1‖l 2∴ k 1＝1，且l 1与l 2不重合 ∴ y 轴上的截距不相等∴ 由mm m m --+-2232＝1且02≠-m m 得m =-1， 但m =-1时，l 1与l 2重合，故舍去， ∴ m 无解（2）当a=1时，l 1：x=3，l 2：y=52 ∴ l 1⊥l 2 当a=23-时，l 1：5653+=x y ，l 2：54-＝x 显然l 1与l 2不垂直。

当a ≠1且a ≠23-时，l 1：131---=a x a a y ，l 2： 322321+++-=a x a a y ∴ k 1＝1-a a k 1＝321+-a a 由k 1k 2＝-1得1-a a 321+-a a ＝-1解得3-=a ∴ 当a=1或3-=a 时，l 1⊥l 221．分析：B 点应满足的两个条件是：①B 在直线01=-y 上；②BA 的中点D 在直线012=+-y x 上。

由①可设()1，B x B ，进而由②确定B x 值. 解：设()1，B x B 则AB 的中点⎪⎭⎫ ⎝⎛+221，Bx D ∵D 在中线CD ：012=+-y x 上∴012221=+⋅-+B x ， 解得5=B x ， 故B (5, 1).同样，因点C 在直线012=+-y x 上，可以设C 为()C C y y ，12-，求出()131---=，，C y C . 根据两点式，得ABC ∆中AB ：072=-+y x ， BC ：014=--y x ，AC ：02=+-y x .22.设),(00y x B 则AB 的中点)21,23(00-+y x M 在直线CM 上,则059211023600=--⨯++⨯y x ,即0555300=-+y x …………………①,又点B 在直线BT 上,则010400=+-y x …………………②联立①②得)5,10(B ,76310)1(5=---=∴AB K , 有BT 直线平分B ∠,则由到角公式得76411417641141⨯+-=+-BC BC K K ,得92-=BC K BC ∴的直线方程为:06592=-+y x .23.（1）∵ 22222)2(+=+=a f ，∴ 2=a . （2分）（2）点P 的坐标为),(00y x ， 则有0002x x y +=，00>x ，（3分）由点到直线的距离公式可知：0000||,12||||x PN x y x PM ==-=，（6分）故有1||||=⋅PN PM ，即||||PN PM ⋅为定值，这个值为1. （7分）（3）由题意可设),(t t M ，可知),0(0y N .（8分）∵ PM 与直线x y =垂直，∴ 11-=⋅PM k ，即 100-=--t x t y ，解得 )(2100y x t +=，又0002x x y +=，∴ 0022x x t +=.（10分）∴222120+=∆x S OPM ，222120+=∆x S OPN ，（12分）∴212)1(212020+≥++=+=∆∆x x S S S OPN OPM OMPN ，当且仅当10=x 时，等号成立．∴ 此时四边形OMPN 面积有最小值21+．（14分）24、解：(1) ①当0=k 时,此时A 点与D 点重合, 折痕所在的直线方程21=y ②当0≠k 时，将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为(,1)G a ， 所以A 与G 关于折痕所在的直线对称， 有1OG k k ⋅=-⇒11k a ⋅=-⇒a k =-故G 点坐标为)1,(k G -，从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标（线段OG 的中点）为)21,2(k M - 折痕所在的直线方程)2(21k x k y +=-，即2122k y kx =++ 由①②得折痕所在的直线方程为：2122k y kx =++ （2）当0=k 时，折痕的长为2;当230k -+≤≤时，折痕直线交BC 于点21(2,2)22k M k ++，交y 轴于21(0,)2k N + ∵22222211||2[(2)]4444(743)32163222k k y MN k k +==+-++=+≤+-=-∴折痕长度的最大值为321632(62)-=-。

而2)26(2>- ,故折痕长度的最大值为)26(2-（3）当21k -≤≤-时，折痕直线交DC 于1(,1)22k P k -，交x 轴于21(,0)2k Q k+- ∵22222111||1[()]1222k k PQ k k k +=+---=+ ∴22(2||1)t k PQ k k =-=+∵21k -≤≤- ∴222k k+≤-（当且仅当2(2,1)k =-∈--时取“=”号） ∴当2k =-时，t 取最大值，t 的最大值是22-。