2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）解析本试卷分第I卷和第n卷两部分。
第I卷1至2页、第n卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。
第I卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)集合P={x^Z 0Exc3}, M ={x w Rx2兰9}，则PI M =(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0 w x<3} (D) {x|0 < x < 3}1, B •解析：P Jo,1,2〉, M = I-3 4,3】，因此P^M hb,1,2"（2）在等比数列taj中,印=1 ，公比q H1 .右a m = 8182838485，则m=解析：很容易看出这是一个面向我们的左上角缺了一小块长方体的图形，不难选出答案。
（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为3—个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该4A .解析：基本的插空法解决的排列组合问题,几何体的俯视图为(A ) 9(B) 10(C) 11(D) 122, C.8m二內比比印比=q qm =11(B ) A8C9 AX (D ) A8C7将所有学生先排列，有A种排法，然后将两位老师插入9个空解析:2 3 4 10 10q q =q = ，因正（主）視图此有中，共有A 9种排法，因此一共有 A 8A 9种排法。
(5) 极坐标方程(;?-1 )^-7：) =0 ( T _0)表示的图形是(B )两条直线解析：原方程等价于 '二1或-二，前者是半径为1的圆，后者是一条射线。
(6)若a , b 是非零向量，“ a 丄b ”是“函数f (x)二(xa - b)・(xb - a)为一次函数”的(A )两个圆(C ) 一个圆和一条射线(D ) —条直线和一条射线(A )充分而不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充分必要条件(D )既不充分也不必要条件6, B .解析：f (x) =(xa b)L(xb2—a) =(a b)x +(b— a )x —a ，b ，如a 丄b ，则有a ，b=0，如果同时有 b = a ,则函数恒为0,不是一次函数，因此不充分，而如果 f(x)为一次函数，则a ^0，因此可得a _b ，故该条件必要。
x y -11 _0I 『(7)设不等式组3X - y • 3 一 0 表示的平面区域为 D ，若指数函数5x -3y 9 汕y=a x 的图像上存在区域D 上的点，贝U a 的取值范围是(1,3](B )[2,3] (C ) (1,2](D )[ 3, •::]7, A .解析：这是 道略微灵活的线性规划问题，作出区域xD 的图象，联系指数函数 y = a 的图象，能够看出,当图象经过区域的边界点 (2,9)时，a 可以取到最大值 3,而显然只要a 大于1,图象必然经过区域内的点。
(8)如图，正方体ABCD- ABQD!的棱长为2，动点E 、F 在棱A^上，动点P , Q 分别在棱AD , CD 上, 若 EF=1 , A 1E=x , DQ=y , D P = z(x,y,(A)与x,y,z 都有关 (E)与x 有关，与y,z 无关 (C) 与y 有关，与x,z 无关 (D) 与z 有关，与x,y 无关8, D .大于零)，则四面体PE FQ 的体积解析：首先由割线定理不难知道 AB AC =AD AE ，于是AE =8,DE =5，又BD _AE ，故BE 为直径，因此• C =90，由勾股定理可知CE 2 =AE 2 -AC 2 =28，故CE解析：这道题目延续了北京高考近年 8,14,20的风格，即在变化中寻找不变， 从图中可以分析出,.：EFQ1的面积永远不变，为面 ABCD 面积的4，而当P 点变化时，它到面 ABCD 的距离是变化的，因此会导致 四面体体积的变化。
第II 卷（共110分）、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
旦对应的点的坐标为1 -i（9）在复平面内，复数 9，（ -1，1）.2i 2i(1 i)=i(1 i) - -1 i解析：〜(―汎1i)')（10）在厶 ABC 中,若 b = 1，c =、、3，. C ^—，则 a = 3 10， 1。
sin B-^ ・b=^x1 今B「,A=「解析：c32，因此 66（11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单 位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图） 。
由图中 数据可知a = ___________ 。
若要从身高在[120 , 130）， [130，140） , [140,150]三组内的学生中，用分层抽样的 方法选取18人参加一项活动，则从身高在 [140，150] 内的学生中选取的人数应为 ___________ 。
11，0.030， 3解析：由所有小矩形面积为1不难得到a =0.030，而三组身高区间的3:2:1，由分层抽样的原理不难得到140-150区间内的人数为 3人。
(12)如图，LI O 的弦 ED ,CB 的延长线交于点 A 。
若 BD — AE ,AB = 4, BC = 2, AD = 3,则 DE = ____________CE = _________12, 5，2.7 人数比为2 2 2 2（⑶已知双曲线才『1的离心率为2,焦点与椭圆詁的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 _______ ;渐近线方程为13（现0 ）, y = ±T3x解析：双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出为 -4,0，又双曲线离心率为 y =±b x =±j3x 渐近线为 a（14）如图放置的边长为 1的正方形PABC 沿x 轴滚动。
设顶点P （ x ，y ）的轨迹方程是y = f （x ），则f （x ）的最小正周 为 ___________ ； y 二f （x ）在其两个相邻零点间的图像与 x 轴 所围区域的面积为。
说明：“正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动。
沿x 轴正方向滚动指的是先以 顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点 B 落在x 轴上时，再以顶点 B 为中心顺时针旋转，如此继续。
类似地， 正方形PABC 可以沿x 轴负方向滚动。
14， 4,二1解析：不难想象，从某一个顶点（比如 A ）落在x 轴上的时候开始计算，到下一次 A 点落在x 轴上，这个 过程中四个顶点依次落在了 x 轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长 1，因此该函数的周期为 4。
下 面考察P 点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动， P 点从x 轴上开始运动的时候，首先是围绕 A 点运动14个圆，该圆半径为1，然后以B 点为中心，滚动到 C 点落地，其间是以 BP 为半径，旋转90°，然后以 C 为圆心，再旋转90°，这时候以CP 为半径，因此最终构成图象如下：因此不难算出这块的面积为 7：12，即a三、解答题：本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
(15)(本小题共13分)2已知函数f(x) = 2cos 2x sin x-4cosx。
(I)求f (§)的值；(n)求f (x)的最大值和最小值。
15(I)兀2兀2兀兀 3 9f ( ) =2cos sin 4cos 1 2 二3 3 3 34 4(2)2 2f(x) =2(2cos x -1) (1-cos x) -4cosx2= 3cos x - 4cos x -1gV x R2 7♦cos x 一———因为cosx」-"l,所以当cosx=—1时，f(x)取最大值6；当3时，取最小值3。
(16)(本小题共14分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE丄AC,EF// AC,AB= 2，CE=EF=1. (I)求证：AF//平面BDE(n)求证：CH平面BDE(川)求二面角A-BE-D的大小。
16证明：(I)设AC与BD交于点G，因为EF // AG，且EF=1 1AG= 2AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形。
所以AF // EG。
因为EG P平面BDE，AF 一平面BDE，所以AF //平面BDE。
(II )因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE丄AC，所以CE丄AC，所以CE丄平面ABCD。
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz。
则C(0，0，2+ 0 +0), A (迈，施,0) , D O/2 , 0, 0), E (0,2.2 — 20,1), F ( 2 ,2, 1)o 所以 CF =( 21)，BE =( 0,— d ,1 = 0。
所以 CF 丄BE , CF 丄DE ,所以CF 丄平面1)。
所以 CF .BE = 0-1+仁o , CF .DE =—i BDE2辽(HI )由(II )知，CF = ( 2 , 2, 1),是平面则 n ・BA =o , n BE =0 o(x, y,z) (、、2,0,0) =0即(x, y, z) (0, -迈⑴=0所以 X=0 ,且 Z 八 2 y 。
令 y=1 ,则 z= ' 2。
所以 n= ( 0,1,2),从而 COS ( n , 兀因为二面角A-BE-D 为锐角，所以二面角 A-BE-D 为6。
(17) (本小题共13分)某同学参加3门课程的考试。
假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为4 ,第二、第三门课程取5得优秀成绩的概率分别为 p , q ( p > q ),且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。
记E 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为E 01 2 3P6 125ab24 125(n )求p , q 的值； (川)求数学期望E E 。
17解：事件A ,表示该生第i 门课程取得优异成绩”，i=1,2,3。
由题意可知4P(AJ,P(A 2)=p,P(A 3)=q. 5(I)由于事件 该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件“ =0 ”是对立的，所以该生至少有一门课程取1) , DE =(- -2 , 0, BDE 的一个法向量， 设平面ABE 的法向量n = (x,y,z ),CF得优秀成绩的概率是戶 6 119 1 -P( =0)=1125 125 (II)由题意可知,2+ 0 +p ( =0)二p (A 1A 2A 3)J (i — p )(i —q)二532 ,q=整理得pq= 5 5 。