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2014北京市高考压轴卷理科数学试题和答案

2014北京市高考压轴卷理科数学一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1.已知11xyi i=-+,其中,x y 是实数,i 是虚数单位,则x yi +的共轭复数为( ) A .12i + B .12i - C .2i + D .2i -2.已知函数3()f x x x =--,123,,x x x R ∈,且120x x +>,230x x +>,310x x +>,则123()()()f x f x f x ++的值为()A.正B.负C.零D.可正可负3.已知某几何体的三视图如下,则该几何体体积为( )A .4+52π B .4+32π C .4+2π D .4+π 4.如图所示为函数π()2sin()(0,0)2f x x ωϕωϕ=+>≤≤的部分图像,其中A ,B 两点之间的距离为5,那么(1)f -=( )A .-1B .CD .15.(5分)已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β,有下列命题:①若m⊥n,m⊥α,则n∥α;②若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β;③若m、n是两条异面直线,m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β;④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥α.其中正确命题的个数是()6.设函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有,则不等式的解集为A. B.C. D.7.已知F1(﹣c,0),F2(c,0)为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点且,则此椭圆离心率的取值范围是()B8.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(1+x)=f(1﹣x),且x∈[0,1]时,,则方程在区间[﹣3,3]上的根的个数为()9.已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+,若{}3A B =-,则实数a 的值为________________.10.已知如图所示的流程图(未完成),设当箭头a 指向①时输出的结果S =m ,当箭头a 指向②时,输出的结果S =n ,求m +n 的值.11.若n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,且8320S S -=,则11S 的值为 . 12.展开式中有理项共有 项.13.在平面直角坐标系xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点,则线段PQ 长的最小值是_______14.设a ∈R ,若x >0时均有[(a ﹣1)x ﹣1](x 2﹣ax ﹣1)≥0,则a= .三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.15.已知向量)4cos ,4(cos ),1,4sin 3(2x x x ==.记x f ⋅=)( (I)求)(x f 的周期;(Ⅱ)在∆ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且满足(2a —c)cos B=b cosC , 若f (A )=,试判断∆ABC 的形状. 16.在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组(每人参加且只参加一个兴趣小组)情况调查中,经统计得到如下2×2列联表:(单位:人)(Ⅱ)在统计结果中,如果不考虑性别因素,按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈.已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”. ①求在甲被抽中的条件下,乙丙也都被抽中的概率;②设乙、丙两人中被抽中的人数为X ,求X 的分布列及数学期望E(X). 下面临界值表供参考:参考公式:2()()()()K a b c d a c b d =++++命题意图:考查分类变量的独立性检验,条件概率,随机变量的分布列、数学期望等,中等题. 17.已知正四棱柱1111-ABCD A BC D 中,12,4==AB AA . (Ⅰ)求证:1BD AC ⊥;(Ⅱ)求二面角11--A AC D 的余弦值;(Ⅲ)在线段1CC 上是否存在点P ,使得平面11ACD ⊥平面PBD ,若存在,求出1CPPC 的值;若不存在,请说明理由.18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ,点B 为短轴的一个端点,260OF B ∠=︒. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)如图,过右焦点2F ,且斜率为(0)≠k k 的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点,A 为椭圆的右顶点,直线,AE AF 分别交直线3=x 于点,M N ,线段MN 的中点为P ,记直线2PF 的斜率为'k .求证: '⋅k k 为定值.19.已知数列{}n a 的各项均为正数,记12()n A n a a a =+++L ,231()n B n a a a +=+++L ,342(),1,2,n C n a a a n +=+++=L L .(Ⅰ)若121,5a a ==,且对任意n ∈*N ,三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列,求数列{}n a的通项公式.(Ⅱ)证明:数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是:对任意n ∈*N ,三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.20.已知函数2()2ln f x x x ax =-+(a ∈R ).(Ⅰ)当2a =时,求()f x 的图象在1x =处的切线方程;(Ⅱ)若函数()()g x f x ax m =-+在1[e]e ,上有两个零点,求实数m 的取值范围;(Ⅲ)若函数()f x 的图象与x 轴有两个不同的交点12(0)(0)A x B x ,,,,且120x x <<, 求证:12()02x x f +'<(其中()f x '是()f x 的导函数).2014北京市高考压轴卷数学理参考答案1. 【答案】D 【解析】1()1,2,1,12x x xi yi x y i =-=-∴==+故选D . 2. 【答案】B【解析】∵3()f x x x =--,∴函数()f x 在R 上是减函数且是奇函数,∵120x x +>,∴12x x >-,∴12()()f x f x <-,∴12()()f x f x <-,∴12()()0f x f x +<, 同理:23()()0f x f x +<,31()()0f x f x +<,∴123()()()0f x f x f x ++<.3. 【答案】A【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了一部分2π,所以该几何体的体积为52213422πππ⨯⨯+-=+.故选A . 4. 【答案】A. 【解析】5. 【答案】C【解析】①若m⊥n,m⊥α,则n 可能在平面α内,故①错误②∵m⊥α,m∥n,∴n⊥α,又∵n⊥β,∴α∥β,故②正确 ③过直线m 作平面γ交平面β与直线c , ∵m、n 是两条异面直线,∴设n∩c=O, ∵m∥β,m ⊂γ,γ∩β=c∴m∥c, ∵m ⊂α,c ⊄α,∴c∥α,∵n ⊂β,c ⊂β,n∩c=O,c∥α,n∥α ∴α∥β;故③正确④由面面垂直的性质定理:∵α⊥β,α∩β=m ,n ⊂β,n⊥m,∴n⊥α.故④正确 故正确命题有三个,故选C6.【答案】C.【解析】由,得:,即,令,则当时,,即在是减函数,,,,在是减函数,所以由得,,即,故选7.【答案】C.【解析】设P(m,n ),=(﹣c﹣m,﹣n)•(c﹣m,﹣n)=m2﹣c2+n2,∴m2+n2=2c2,n2=2c2﹣m2①.把P(m,n )代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②,把①代入②得m2=≥0,∴a2b2≤2a2c2,b2≤2c2,a2﹣c2≤2c2,∴≥.又m2≤a2,∴≤a2,∴≤0,a2﹣2c2≥0,∴≤.综上,≤≤,故选C.8.【答案】A.【解析】由f(1+x)=f(1﹣x)可得函数f(x)的图象关于x=1对称,方程在区间[﹣3,3]根的个数等价于f(x)与y=图象的交点的个数,而函数y=图象可看作y=的图象向下平移1个单位得到,作出它们的图象如图:可得两函数的图象有5个交点,故选A【解析】①若a-3=-3,则a=0,此时:}1,1,3{},3,1,0{--=-=B A ,}3,1{-=⋂∴B A ,与题意不符,舍 ②若2a-1=-3,则a=-1,此时:}2,4,3{},3,1,0{--=-=B A ,}3{-=⋂∴B A ,∴a=-1 ③若a2+1=-3,则a 不存在 综上可知:a=-1 10. 【答案】20.【解析】当箭头指向①时,计算S 和i 如下. i =1,S =0,S =1; i =2,S =0,S =2; i =3,S =0,S =3; i =4,S =0,S =4; i =5,S =0,S =5; i =6结束. ∴S=m =5.当箭头指向②时,计算S 和i 如下. i =1,S =0, S =1; i =2,S =3; i =3,S =6;i =4,S =10; i =5,S =15; i =6结束. ∴S=n =15. ∴m+n =20. 11. 【答案】44【解析】由83456786520S S a a a a a a -=++++==,解得64a =,又由611111611211()114422a a a S a ⨯+====【解析】展开式通项公式为T r+1==若为有理项时,则为整数,∴r=0、6、12,故展开式中有理项共有3项, 故答案为:3 13.【答案】4.【解析】设过坐标原点的一条直线方程为y kx =,因为与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点,所以0k >,且联列解得,P Q ⎛ ⎝,所以4PQ ==≥14. 【答案】【解析】(1)a=1时,代入题中不等式明显不成立.(2)a ≠1,构造函数y 1=(a ﹣1)x ﹣1,y 2=x 2﹣ax ﹣1,它们都过定点P (0,﹣1). 考查函数y 1=(a ﹣1)x ﹣1:令y=0,得M (,0),∴a >1;考查函数y 2=x 2﹣ax ﹣1,显然过点M (,0),代入得:,解之得:a=,或a=0(舍去).故答案为:15. 【解析】211()cos cos cos 4442222x x x x x f x +=++1sin 262x π⎛⎫=++⎪⎝⎭(I )π4=T(Ⅱ 根据正弦定理知:()2cos cos (2sin sin )cos sin cos a c B b C A C B B C -=⇒-=12sin cos sin()sin cos 23A B B C A B B π⇒=+=⇒=⇒=∵()f A =∴1sin 262263A A πππ⎛⎫++=+= ⎪⎝⎭或23π3A π⇒=或 π 而203A π<<,所以3A π=,因此∆ABC 为等边三角形.……………12分16. 【解析】(Ⅰ)由表中数据得K 2的观测值k =42×(16×12-8×6)224×18×20×22=25255≈4.582>3.841. ……2分 所以,据此统计有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关.……4分 (Ⅱ)①由题可知在“排球小组”的18位同学中,要选取3位同学. 方法一:令事件A 为“甲被抽到”;事件B 为“乙丙被抽到”,则P(A∩B)=33318C C ,P(A)=217318C C .所以P(B|A)=P(A∩B )P(A)=33217C C =217×16 =1136. ……7分 方法二:令事件C 为“在甲被抽到的条件下,乙丙也被抽到”, 则P(C)=22217C C =217×16=1136. ②由题知X 的可能值为0,1,2.依题意P(X =0)=316318C C =3551;P(X =1)=21162318C C C =517;P(X =2)=12162318C C C =151. 从而X 的分布列为……10分 于是E(X)=0×3551+1×517+2×151=1751=13. ……12分17. 【解析】证明:(Ⅰ)因为1111ABCD A BC D -为正四棱柱,所以1AA ⊥平面ABCD ,且ABCD 为正方形. ………1分 因为BD ⊂平面ABCD ,所以1,BD AA BD AC ⊥⊥. ………2分因为1AA AC A =,所以BD ⊥平面1A AC . ………3分因为1AC ⊂平面1A AC , 所以1BD AC ⊥. ………4分 (Ⅱ) 如图,以D 为原点建立空间直角坐标系-D xyz .则11(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,4),(2,2,4),D A B C A B11(0,2,4),(0,0,4)C D ………5分所以111(2,0,0),(0,2,4)D A DC ==-uuuu r uuu r . 设平面11A D C 的法向量111(,,)x y z =n .所以 1110,D A D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuuu ruuu rn n .即1110,240x y z =⎧⎨-=⎩……6分 令11z =,则12y =. 所以(0,2,1)=n .由(Ⅰ)可知平面1AAC 的法向量为 (2,2,0)DB =u u u r. ……7分所以cos ,DB <>==uu u rn ……8分 因为二面角11--A AC D 为钝二面角,所以二面角11--A AC D的余弦值为. ………9分 (Ⅲ)设222(,,)P x y z 为线段1CC 上一点,且1(01)CP PC λλ=≤≤uu r uuu r. 因为2221222(,2,),(,2,4)CP x y z PC x y z =-=---uu r uuu r.所以222222(,2,)(,2,4)x y z x y z λ-=---. ………10分即22240,2,1x y z λλ===+. 所以4(0,2,)1P λλ+. ………11分 设平面PBD 的法向量333(,,)x y z =m .因为4(0,2,),(2,2,0)1DP DB λλ==+uu u r uu ur ,所以 0,0DP DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r uu u rm m .即3333420,1220y z x y λλ⎧+=⎪+⎨⎪+=⎩. ………12分 令31y =,则3311,2x z λλ+=-=-. 所以1(1,1,)2λλ+=--m . ………13分 若平面11ACD ⊥平面PBD ,则0⋅=m n . 即1202λλ+-=,解得13λ=. 所以当113CP PC =时,平面11ACD ⊥平面PBD . ………14分 18.【解析】(Ⅰ)由条件2,a b =…………2分故所求椭圆方程为13422=+y x . …………4分 (Ⅱ)设过点2(1,0)F 的直线l 方程为:)1(-=x k y . …………5分由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得:01248)34(2222=-+-+k x k x k …………6分因为点2(1,0)F 在椭圆内,所以直线l 和椭圆都相交,即0>∆恒成立. 设点1122(,),(,)E x y F x y ,则34124,34822212221+-=+=+k k x x k k x x . …………8分因为直线AE 的方程为:)2(211--=x x y y , 直线AF 的方程为:)2(222--=x x y y , ………9分 令3x =,可得)2,3(11-x y M ,)2,3(22-x yN , 所以点P 的坐标12121(3,())222y y x x +--. ………10分直线2PF 的斜率为12121()0222'31y y x x k +---=-12121()422yy x x =+-- 122112121212()42()4x y x y y y x x x x +-+=⋅-++ 1212121223()4142()4kx x k x x kx x x x -++=⋅-++ …………12分 2222222241282341434341284244343k k k k k k k k k k k -⋅-⋅+++=⋅--⋅+++ 34k =-所以k k '⋅为定值43-. …………13分19. 【解析】 (Ⅰ) 因为对任意n *∈N ,三个数(),(),()A n B n C n 是等差数列,所以()()()()B n A n C n B n -=-. ………1分 所以1122n n a a a a ++-=-, ………2分 即21214n n a a a a ++-=-=. ………3分 所以数列{}n a 是首项为1,公差为4的等差数列. ………4分 所以1(1)443n a n n =+-⨯=-. ………5分(Ⅱ)(1)充分性:若对于任意n *∈N ,三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列,则()(),()()B n qA n C n qB n ==. ………6分所以[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得2211(),n n a a q a a ++-=-即2121n n a qa a qa ++-=-. ………7分因为当1n =时,由(1)(1),B qA =可得21a qa =, ………8分所以210n n a qa ++-=. 因为0n a >, 所以2211n n a a q a a ++==. 即数列{}n a 是首项为1a ,公比为q 的等比数列, ………9分 (2)必要性:若数列{}n a 是公比为q 的等比数列,则对任意n *∈N ,有1n n a a q +=. ………10分因为0n a >,所以(),(),()A n B n C n 均大于0.于是12)2311212(......(),()......n n n nq a a a a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++ ………11分 231)342231231(......(),()......n n n n q a a a a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++ ………12分即()()B n A n =()()C n B n =q ,所以三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. ………13分综上所述,数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是:对任意n ∈N ﹡,三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. ………14分20. 【解析】(Ⅰ)当2a =时,2()2ln 2f x x x x =-+,2()22f x x x'=-+,切点坐标为(11),, 切线的斜率(1)2k f '==,则切线方程为12(1)y x -=-,即21y x =-. ····························· 2分(Ⅱ)2()2ln g x x x m =-+,则22(1)(1)()2x x g x x xx-+-'=-=,∵1[e]e x ∈,,故()0g x '=时,1x =.当11ex <<时,()0g x '>;当1e x <<时,()0g x '<.故()g x 在1x =处取得极大值(1)1g m =-. ·············································································· 4分 又211()2e e g m =--,2(e)2e g m =+-,2211(e)()4e 0e e g g -=-+<,则1(e)()eg g <,∴()g x 在1[e]e,上的最小值是(e)g . ······················································································· 6分()g x 在1[e]e ,上有两个零点的条件是2(1)10,11()20,eeg m g m =->⎧⎪⎨=--≤⎪⎩解得2112e m <≤+, ∴实数m 的取值范围是21(12]e+,. ··························································································· 8分(Ⅲ)∵()f x 的图象与x 轴交于两个不同的点12(0)(0)A x B x ,,,,∴方程22ln 0x x ax -+=的两个根为12x x ,,则211122222ln 0,2ln 0,x x ax x x ax ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩两式相减得1212122(ln ln )()x x a x x x x -=+--.又2()2ln f x x x ax =-+,2()2f x x a x'=-+,则1212124()()2x x f x x a x x +'=-+++1212122(ln ln )4x x x x x x -=-+-. 下证1212122(ln ln )40x x x x x x --<+-(*),即证明2111222()ln 0x x x x x x -+<+,12x t x =, ∵120x x <<,∴01t <<,即证明2(1)()ln 01t u t t t -=+<+在01t <<上恒成立. ·················· 10分 ∵22222(1)2(1)114(1)()(1)(1)(1)t t t u t t t t t t t -+---'=+=-=+++,又01t <<,∴()0u t '>, ∴()u t 在(0,1)上是增函数,则()(1)0u t u <=,从而知2111222()ln 0x x x x x x -+<+, 故(*)式<0,即12()02x x f +'<成立………….12分。

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