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4.象限角的集合表示
α终边所在 角α的集合 {α|k· 360°<α<k· 360°＋90°，k∈Z} _________________________________ {α|k· 360°＋90°<α<k· 360°＋180°，k∈Z} _________________________________________ {α|k· 360°＋180°<α<k· 360°＋270°， __________________________________________
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规律方法
解答此类题目应先在 0°～360°上写出角的集合，
再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集
合能化简的还要化成最简.本题还要注意实线边界与虚线边界 的差异.
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【训练3】 如图，若角α的终边落在函数y＝x(x≥0)与y＝
－x(x≤0)的图象所夹的区域(即图中阴影部分，不包括边界)内， 求角α的集合.
类型 正角 负角 零角 定义 逆时针方向旋转 形成的角 按_______________ 图示
顺时针方向旋转 形成的角 按________________
没有作任何旋转 ，称它形 一条射线 _______________ 成了一个零角
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2.象限角 角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合， 那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几 ____ 象限角 如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任 ______. 何一个象限. 3.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S α＋k· 360°，k∈Z ，即任一与角α终边相同的角， ＝{β|β＝__________________} 整数个周角 的和. 都可以表示成角α与_____________
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规律方法
解答本题关键是找到 0°～360°范围内，终边落
在直线 y＝x 的角：45°，225°，再利用终边相同的角的关 系写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化 成最简.
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【训练2】 写出终边落在x轴上的角的集合S.
解 S＝{α|α＝k· 360°，k∈Z}∪{α|α＝k· 360°＋180° ，k∈Z} ＝{α|α＝2k· 180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)· 180°，k∈Z} ＝{α |α＝n· 180°，n∈Z}.
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类型三 区域角的表示(互动探究) 【例3】 如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.
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[思路探究] 探究点一 提示 终边落在阴影部分的角可分成哪几部分？
可分为 x 轴上方部分和 x 轴下方部分. 终边落在同一条直线上的角有怎样的关系？
探究点二 提示
终边落在同一条直线上的角相差 180°的整数倍. 边界为实线与虚线有区别吗？
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(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，
与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角.
(3) 因为－ 950 ° 15′ ＝－ 3×360 °＋ 129 ° 45 ′ ，所以在 0 °～ 360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角， 它是第二象限角.
(3)若角α与β的终边关于x轴对称，则α＋β＝0°.( × )
(4)若两个角始边相同，终边也相同，则这两个角相等.( × ) 提示 (1)第一象限角仅仅是终边位置在第一象限，如
α＝－330°角不一定是锐角，故错. (2)负角小于90°，但不是锐角，故错. (3)α＋β＝k· 180°，k∈Z，故错. (4)两个角可能相差360°的整数倍，故错.
1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角
目标定位 1. 认识角的扩充的必要性，了解任意角的
概念；2.能用集合和数学符号表示终边相同的角；3.能 用集合和数学符号表示象限角及终边满足一定条件的
角.
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自 主 预 习
1.角的概念 一条射线 绕着______ 端点 从一 (1)角的概念：角可以看成平面内_________ 旋转 到另一个位置所成的图形. 个位置______ (2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类
解
(1)用 2 010°除以 360°商为 5，余数为 210°.
∴k＝5.∴α＝5×360°＋210°，又 β＝210°是第三象限角. ∴α 为第三象限角. (2)与 2 010°终边相同的角：θ ＝k· 360°＋2 010°(k∈Z)， 令－360°≤k·360°＋2 010°<720°(k∈Z)， 7 7 解得－612≤k<－312(k∈Z)，所以 k＝－6，－5，－4. 将 k 的值代入 k· 360°＋2 010°中得： 角 θ 的值为－150°，210°，570°.
限角；390°的角是第一象限角，但它不是锐角；390°角和 30°角不相等，但终边相同；故 A、B、C 均不正确.对于 D， 由终边相同的角的概念可知正确.
答案 D
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3.终边在直线y＝－x上的角的集合S＝_____.
解析 由于直线 y＝－x 是第二、四象限的角平分线，
在 0°～360°间所对应的两个角分别是 135°和 315°， 从而 S＝{α|α＝k· 360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k· 360° ＋315°， k∈Z}＝{α|α＝2k· 180°＋135°， k∈Z}∪{α|α ＝ (2k ＋ 1)· 180 ° ＋ 135 ° ， k ∈ Z} ＝ {α|α ＝ n· 180 ° ＋ 135°，n∈Z}.
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答案 D
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类型二 终边相同的角
【例2】 写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适 合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来.
解 直线 y＝x 与 x 轴的夹角是 45°， 在 0°～360°范围内， 终边在直线 y＝x 上的角有两个：45°，225°.因此，终边 在直线 y＝x 上的角的集合：
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2.手表时针走过2小时，时针转过的角度为(
A.60°
解析
)
B.－60°
C.30°
D.－30°
由于时针是顺时针旋转， 故时针转过的角度为负
2 数，12×360°＝60°，故时针转过的角度为－60°.
答案 B
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3.下列各角中与330°角终边相同的角是(
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求在 0°～360°范围内与已知角终边相同的角，
并判断其为第几象限角，关键是将所给的角写成 α＋k· 360° (k∈Z)的形式，这是为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式 求三角函数的值打基础.
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【训练1】 给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；
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[课堂小结]
1. 本节课在介绍将角的概念推广的必要性的基础上，
定义了正角、负角、零角(按旋转方向)； 2. 按终边所在平面直角坐标系上的位置定义了象限角； 3.难点是利用集合表示终边相同的角及区域角.
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1.－361°的终边落在(
A.第一象限
)
B.第二象限
C.第三象限
答案 四
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类型一 象限角的判定
【例1】 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的
角，并判定它们是第几象限角.
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
解 (1)因为－150°＝－360°＋210° ，所以在 0°～360° 范
围内，与－150°角终边相同的角是 210°角，它是第三象限 角.
答案 {α|α＝n· 180°＋135°，n∈Z}
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4.已知角α＝2 010°.
(1)把 α 改写成 k· 360°＋β(k∈Z，0°≤β <360°)的形式，并 指出它是第几象限角； (2)求 θ，使 θ 与 α 终边相同，且－360°≤θ <720°.
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)
A.510°
B.150°
C.－150°
D.－390°
解析 与 330°终边相同的角可表示为 α＝330°＋k· 360° (k∈Z)，令 k＝－2，则 α＝－390°.
答案 D
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4.－60°是第象限角.
解析 －60°是顺时针旋转 60°(以 x 轴的非负半轴的为
始边)所得角，故－60°为第四象限角.
探究点三 提示
有.实线表示边界角能取到，虚线表示边界角取不到.
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解
设终边落在阴影部分的角为 α，角 α 的集合由两部分组成.
①{α |k·360°＋30°≤α <k·360°＋105°，k∈Z}. ②{α |k·360°＋210°≤α <k·360°＋285°，k∈Z}. ∴角 α 的集合应当是集合①与②的并集： {α |k·360°＋30°≤α <k·360°＋105°，k∈Z} ∪{α |k·360°＋210°≤α <k·360°＋285°，k∈Z} ＝{α|2k· 180°＋30°≤α <2k·180°＋105°，k∈Z} ∪{α |(2k＋1)180°＋30°≤α <(2k＋1)180°＋105°，k∈Z} ＝{α|2k· 180°＋30°≤α <2k·180°＋105°或(2k＋1)· 180°＋ 30°≤α <(2k＋1)180°＋105°，k∈Z} ＝{α|n· 180°＋30°≤α <n·180°＋105°，n∈Z}.