雷电电流数学模型的分析与研究（合肥工业大学电气工程与自动化学院，安徽 合肥 230009）摘要：本文选取了常见的几个雷电电流的数学模型进行对比分析，运用Matlab 数学软件，分别做出它们的雷电电流波形图，在此基础上运用傅里叶变换分别对几种模型雷电流波的频谱进行分析，并做出了雷电流的频率分布图，为进一步深入研究雷电电磁场的计算和雷电电磁脉冲的防护提供理论基础。

关键词：雷电流 傅里叶变换 频率分布 频谱分析Research and Analysis of the mathematic models aboutthe lightning currentAbstract: In this paper, it takes several familiar mathematic models about the lightning current.First of all, it can make their waveform diagrams about the lightning current using the Matlab mathematic software. On this foundation, it uses the Fourier transform to analyzed the mathematic models in frequency domain and makes their frequency distribute diagrams. Thus, it can analyze the value of the lightning current frequency diagram and offer theoretical references to further research the induction of LEMP and .the count of electromagnetism field.Key Words : Lightning current, Fourier transform, Frequency distribute, Frequency chart analysis 0 引言雷电电流波的数学模型是研究雷电的主要内容之一，因为一旦知道雷电电流波形，就可得到有关雷电流的参数，如雷电流的峰值，最大电流的上升率，峰值时间等，此外，通过推出的雷电流的数学表达式，将为雷电过电压保护、雷电电磁脉冲(LEMP)防护和雷电电磁场计算等提供根本的理论基础[1]。

由于雷电的产生具有很大的随机性，且与地质结构，土壤的电阻率等都有很大的关系，所以没有一幅电流波形是相同的。

但是人们通过长期的观测，统计出雷电流的几个特征[2]： 1) 峰值电流：典型值为A 4102⨯左右，变化范围为3102⨯～A 5102⨯。

2) 电流上升率：典型值为1410-•s A μ左右，变化范围为310～14108-•⨯s A μ。

3) 峰值时间：典型值为2s μ左右，变化范围为1～30s μ。

4) 半峰值时间(电流随时间衰减到峰值50 %的时间)：典型值为40s μ左右，变化范围为10 ～250s μ。

1 雷电流的解析表达式从人们开始研究雷电流至今，已经提出了很多雷电流的数学模型，有幂级数模型，双指数函数模型，戈尔德模型，霍德勒(Heidler)函数模型，脉冲函数模型等等，本文选取较常见的经典的双指数函数模型、Heidler 函数模型和脉冲函数模型进行分析和比较。

1.1双指数函数模型1941年，Bruce 和Golde 提出了雷电流波形的双指数函数表达式[3]：()()t t e e It i βαη---=0 (t ≥0) （1）上式中α为雷电流波头衰减系数；β为雷电流波尾衰减系数；ppt t eeβαη---=为峰值修正因子； )/()/ln(αβαβ-=p t 为峰值时间。

由(1)式可知：dt t di /)(在t=0时为无穷大。

设峰值时间为m T ，峰值为m I ，半峰值时间为h T ，对(1)式两边求导并令为零：0)(0=-=--t t e e I dt dI αβαβ 得：αβαβln 1-=m T 将m T 代入（1）式得： )(lnln0αβαββαβαβα-----=ee I I m半峰值为时间为：)(210h h T T m e e I I βα---= 从上式可以看出如果α，β和0I 已知，就可以做出雷电流波形图，通过国军标GJB2639-96[4]中查得不同α，β和0I ，用Matlab [5]仿真出不同α，β和0I 时的雷电流的全波(图1)和波头(图2)的波形图：图1 全波波形图 图2 波头波形图 其中红线表示的参数是：A I 2188100=,111354-=s α,1647265-=s β 绿线表示的参数是：A I 1094050=,122708-=s α,11294530-=s β.1.2 Heidler 函数模型国际电工委员会IEC 于1995年发表的文件IEC1312-1[6]中，规定了供分析用的雷电流解析表达式，即为Heidler 函数模型：()()()21101τττηt nne t t I t i -+⋅=(t ≥0) （2）式中：0I —峰值电流，η—峰值电流修正因子，1τ—波头时间常数，2τ—波尾时间常数； n 是电流陡度因子，一般情况下取n =10。

(2)式是基于霍德勒模型和传输线模型提出的，适应于首次雷击(10/350s μ)和后续雷击(0.25/100s μ)。

通过IEC1312-1中规定的参数，用Matlab 仿真出首次雷击和后续雷击时的雷电流的全波(图3)和波头的波形图(图4)：其中红线表示首次雷击(10/350s μ)防护级别1时的参数：KA I 2000=，930.0=η，s μτ101=，s μτ3502=；蓝线表示首次雷击防护级别2时的参数：KA I 1500=，930.0=η，s μτ191=，s μτ4852=；绿线表示后续雷击(0.25/100s μ)防护级别1时的参数：KA I 500=，993.0=η，s μτ25.01=，s μτ1002=。

图3 全波波形 图4 波头波形1.3 脉冲函数模型在进行雷电电磁场的计算时，由于涉及到复杂的重积分运算，而双指数函数在t=0时没有连续的一阶倒数，Heidler 函数又没有明显的积分式，因此有文[7]提出了用式(3)形式的脉冲函数模型来表示雷电电流：21//0]1[)(ττηt n t e e I t i ---= ( 0≥t ) （3）其中峰值修正因子21/)1(ττααηt t n -=，)/(211ττταn t +=。

由（3）式可知，dt t di /)(在t=0时为0。

让脉冲函数的相应参数与Heidler 函数的相同，做出脉冲函数的全波(图5)和波头的波形图(图6) ：图5 全波波形 图6 波头波形 2 雷电流波形的比较为了方便将三种函数的数学模型进行对比分析，用Matlab 将三种函数的数学模型仿真于同一坐标下，为了方便对比，让Heidler 函数和脉冲函数的相应参数相同，而对双指数函数令2/1τα=，1/1τβ=。

仿真出全波波形(图7)和波头波形(图8)：其中绿线表示双指函数，蓝线表示Heidler 函数，红线表示脉冲函数。

图7 全波波形 图8 波头波形 从图7和图8可以看出，这三种函数非常接近，只是在上升沿Heidler 函数和脉冲函数相对双指数函数有显著改善。

3 雷电流的频谱分析基于雷电防护的需要，宜将雷电流波在频域内进行分解，变为标准的正弦波，即利用傅立叶变换[8]，把雷电流)(t i 在满足狄利克雷条件的区间[0,t]上进行周期延拓，得到雷电流波的频谱并进行频谱分析[9]，这样才能对需保护设备进行有效防护。

3.1 双指数模型雷电流波的频谱分析 对(1)式进行傅立叶变换得到： dt e e e I i t j t t ωβαηω-∞--⎰-=)()(=)11(ωβωαηj j I +-+=)]()[(22222222ωαωωβωωββωααη+-+++-+j I （4）=ηω/)(0I i )()(22222222ωαωωβωωββωαα+-+++-+j 令：2222ωββωαα+-+=M 2222ωαωωβω+-+=N则双指数模型雷电流波的频谱分布为：)()(0jN M I i +=ηω 220)(N M Ii +=ηω 其中ω为角频率 （5）用Matlab 仿真出双指数模型雷电流的幅值频率分布图(图9)：图9 双指数模型频谱图 3.2 Heidler 函数模型雷电流波的频谱分析 对（2）式进行傅立叶变换得到： dt e e t t I i tj t ωτττηω=-∞+=⎰2/1011010)/(1)/()( （6）dt e t t I i t j t )/(010110102)/(1)/(/)(ωτττηω+-∞⎰+= = dt e t t j t )/(01012))/(111(ωττ+-∞⎰+-=dt e t j t j t )/(010122)/(11/11ωττωτ+-∞⎰+-+ （7） 从式(7)中可以看出，对第二项直接做积分很困难，但用狄利克雷判别法可知，此项是收敛的，对它可做数值积分，运用快速傅立叶变换，在Matlab 中可得到)(ωi 的频谱图(图10)：图10 Heidler 函数模型频谱图 3.3 脉冲函数模型雷电流波的频谱分析 对（3）式进行傅立叶变换得到： dt e e eI i t j t nt ωττηω--∞-⎰-=21/0/0]1[)( （8）dt e e I i t j t n t )/(0/021)1(/)(ωττηω+-∞-⎰-= =dt e e m n m n t j t nm mt m )/(0/21)!(!!)1(ωττ+-∞=-⎰∑--= dt e m n m n t j t mt nm m ⎰∑∞++-=--0)//(021)!(!!)1(ωττ = )/1/(1)!(!!)1(210ωττj m m n m n nm m++--∑= )/1/(1)!(!!)1()(210ωττηωj m m n m n I i m ++--=（9） 在用Matlab 仿真频谱图时，一般令n=2, 相应参数与Heidler 函数的相同，可得到如图(11)所示的频谱图：图11 脉冲函数模型频谱图从图9、图10和图11可以看出，雷电流所包含的能量从低频到高频都有，但主要集中在低频部分，对于双指数形式和霍德勒形式的雷电流主要分布在小于Hz 510以内，而对于脉冲形式的雷电流主要分布在小于Hz 410以内。