专题二：立体几何---线面垂直、面面垂直一、知识点（1）线面垂直性质定理（2）线面垂直判定定理（3）面面垂直性质定理（2）面面垂直判定定理线面垂直的证明中的找线技巧通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直1．如图1，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD ．证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，1A A AC A =I ，∴DB ⊥平面11A ACC ，而1AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ． 设正方体棱长为a ，则22132A O a =，2234MO a =． 在Rt △11A C M 中，22194A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1AO OM ⊥． ∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ． 评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．利用面面垂直寻求线面垂直2．如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面P AC ．证明：在平面P AC 内作AD ⊥PC 交PC 于D ．因为平面P AC ⊥平面PBC ，且两平面交于PC ，AD ⊂平面P AC ，且AD ⊥PC ， 由面面垂直的性质，得AD ⊥平面PBC ． 又∵BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC ．∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC ． ∵AD ∩P A =A ，∴BC ⊥平面P AC ．评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．3．如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，．求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．证明：∵SA ⊥平面ABCD ， ∴SA BC ⊥．∵AB BC ⊥，∴BC ⊥平面SAB ．又∵AE ⊂平面SAB ，∴BC AE ⊥．∵SC ⊥平面AEFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面SBC ．∴AE SB ⊥．同理可证AG SD ⊥． 评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．4．如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ． 证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC BC =，∴CF AB ⊥．∵AD BD =，∴DF AB ⊥．又CF DF F =I ，∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ⊂平面CDF ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE AB B =I ，∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E =I ，∴ AH ⊥平面BCD ．评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．5．如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA⊥平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．⊥．证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴AC BC∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，⊥．∴BC⊥平面APC．∴PA BC∵BC⊂平面PBC，∴平面APC⊥平面PBC．∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，∴AE⊥平面PBC．∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．10．如图, 在空间四边形SABC中, SA⊥平面ABC, ∠ABC = 90︒, AN⊥SB于N, AM⊥SC于M。

求证: ①AN⊥BC;②SC⊥平面ANM分析:①要证AN⊥BC, 转证, BC⊥平面SAB。

②要证SC⊥平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SC⊥AM, SC⊥AN。

要证SC⊥AN, 转证AN⊥平面SBC, 就可以了。

证明:①∵SA⊥平面ABC∴SA⊥BC又∵BC⊥AB, 且AB I SA = A∴BC⊥平面SAB∵AN⊂平面SAB∴AN⊥BC②∵AN⊥BC, AN⊥SB, 且SB I BC = B∴AN⊥平面SBC∵SCC平面SBC∴AN⊥SC又∵AM⊥SC, 且AM I AN = A∴SC⊥平面ANM［例2］如图9—40，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．图9—40（1）求证：AB⊥BC；（1）【证明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA ∩SB=S，∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．［例3］如图9—41，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点．求证：平面MND ⊥平面PCD【证明】取PD 中点E ，连结EN ，EA ，则EN 21CDAM ，∴四边形ENMA 是平行四边形，∴EA ∥MN ．∵AE ⊥PD ，AE ⊥CD ，∴AE ⊥平面PCD ，从而MN ⊥平面PCD ，∵MN ⊂平面MND ，∴平面MND ⊥平面PCD ．【注】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN ⊥平面PCD 较困难，转化为证明AE ⊥平面PCD 就较简单了．另外，在本题中，当AB 的长度变化时，可求异面直线PC 与AD 所成角的范围．［例4］如图9—42，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 、N 分别是A 1B 1、BC 、C 1D 1、B 1C 1的中点．图9—42求证：平面MNF ⊥平面ENF ．【证明】∵M 、N 、E 是中点，∴M C NC N B EB 1111===∴︒=∠=∠45MNC ENB 11 ∴︒=∠90MNE 即MN ⊥EN ，又NF ⊥平面A 1C 1，11C A MN 平面⊂∴MN ⊥NF ，从而MN ⊥平面ENF ．∵MN ⊂平面MNF ，∴平面MNF ⊥平面ENF ．4．如图9—45，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 为AB 的中点，且PA=AB ．图9—45（1）求证：平面PCE ⊥平面PCD ；（2）求点A 到平面PCE 的距离． （1）【证明】PA ⊥平面ABCD ，AD 是PD 在底面上的射影，又∵四边形ABCD 为矩形，∴CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD ，∵AD ∩PD=D ∴CD ⊥面PAD ，∴∠PDA 为二面角P —CD —B 的平面角，∵PA=PB=AD ，PA ⊥AD ∴∠PDA=45°，取Rt △PAD 斜边PD 的中点F ，则AF ⊥PD ，∵AF ⊂面PAD ∴CD ⊥AF ，又PD ∩CD=D ∴AF ⊥平面PCD ，取PC 的中点G ，连GF 、AG 、EG ，则GF 21CD又AE21CD ，∴GF AE ∴四边形AGEF 为平行四边形∴AF ∥EG ，∴EG ⊥平面PDC 又EG ⊂平面PEC ，∴平面PEC ⊥平面PCD ． （2）【解】由（1）知AF ∥平面PEC ，平面PCD ⊥平面PEC ，过F 作FH ⊥PC 于H ，则FH ⊥平面PEC∴FH 为F 到平面PEC 的距离，即为A 到平面PEC 的距离．在△PFH 与 △PCD 中，∠P 为公共角，而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH ∽△PCD ．∴PC PFCD FH =，设AD=2，∴PF=2，PC=324822=+=+CD PD ，∴FH=362322=⋅∴A 到平面PEC 的距离为36．【拓展练习】 一、备选题1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ． （1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．（1）【证明】∵C 是AB 为直径的圆O 的圆周上一点，AB 是圆O 的直径 ∴BC ⊥AC ；又PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥PA ，从而BC ⊥平面PAC ． ∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PAC ⊥平面PBC ． （2）【解】平面PAC ⊥平面ABCD ；平面PAC ⊥平面PBC ；平面PAD ⊥平面PBD ；平面PAB ⊥平面ABCD ；平面PAD ⊥平面ABCD ．2．ABC —A ′B ′C ′是正三棱柱，底面边长为a ，D ，E 分别是BB ′，CC ′上的一点，BD ＝21a ，EC ＝a ．（1）求证：平面ADE ⊥平面ACC ′A ′； （2）求截面△ADE 的面积．（1）【证明】分别取A ′C ′、AC 的中点M 、N ，连结MN ， 则MN ∥A ′A ∥B ′B ，∴B ′、M 、N 、B 共面，∵M 为A ′C ′中点，B ′C ′=B ′A ′，∴B ′M ⊥A ′C ′，又B ′M ⊥AA ′且AA ′∩A ′C ′=A ′∴B ′M ⊥平面A ′ACC ′． 设MN 交AE 于P ，∵CE ＝AC ，∴PN ＝NA ＝2a．又DB ＝21a ，∴PN ＝BD ．∵PN ∥BD ， ∴PNBD 是矩形，于是PD ∥BN ，BN ∥B ′M ， ∴PD ∥B ′M ．∵B ′M ⊥平面ACC ′A ′，∴PD ⊥平面ACC ′A ′，而PD 平面ADE ， ∴平面ADE ⊥平面ACC ′A ′． （2）【解】∵PD ⊥平面ACC ′A ′，∴PD ⊥AE ，而PD ＝B ′M ＝23a ，AE ＝2a ．∴S △ADE ＝21×AE ×PD＝21×246232aa a =⨯．二、练习题。