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岩层倾角
L p Kmt cos / n
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相对密度差 共81页5
第二节 近似解析解
承压（或潜水）含水层 L 污染地下水在承压含水层的运动，如果补给来源 稳定，可视为似稳定运动，属于一维平面平) qe Vx 常数 L m
x 2
因此，在任何一个节点处，浓度C(x,y,z,t) 的一阶和二阶偏导数均可用该节点及其 相邻节点上浓度值的线性组合表示。
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一维弥散方程的差分格式
第五章 地下水污染预测

主要内容



概述（了解） 近似解析法（了解） 数值法（熟悉） 数理统计法（熟悉） 灰色预测法（了解） 国外地下水模型软件
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第一节 概述

地下水污染预测预报包括：

预报污染地下水分布边界的推进情况（即经过 一定时间t后边界推进的距离x，或预测推进一定 距离需要多长时间）； 确定污染地下水中污染物质的浓度在空间的分 布及随时间的变化情况； 预测污染地下水能否侵入附近的水源地，污染 物质达到水源地所需的时间；
而实际流速为：
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Vx ux n
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第二节 近似解析解

qe t L x 0 x mn mnL t qe C ( x, t ) Ce C C0 Ce
承压（或潜水）含水层 L
初始时刻污染锋面的位置 某时刻污染锋面的位置
n i 1, j , k n i , j ,k
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同样可以写出 对时间t的向 前、向后和中 心差分公式
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导数的差分近似

C(x,y,z,t)对x的二阶差分公式为：
c | 2 (i , j ,k ,n ) x
2
n n Cin 2 C C 1, j , k i , j ,k i 1, j , k
df f ( x) f ( x x) dx x

上式称为f(x)的一阶向后差分
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导数的差分近似

把上面两个差分方程相减，可得：
df f ( x x) f ( x x) dx 2x
上式称为f(x)的一阶中心差分

同理可得f(x)的二阶导数的差分公式：
天然地下水中污染物的浓度 初始分界面以内，地下水中污染物 的浓度
77 2018/10/24 若是潜水，则取平均厚度代替上述各式中的 m。
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第三节 数值解
由于含水层以及污染物质迁移的复杂性，
解析解不易求得，通常采用数值解法。数
值法在剖分后认为每一单元内均质同性，
将方程线性化。
•
• •
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第二节 近似解析解

计算平均渗透锋面的运移距离 L ； 求出平均渗透锋面处污染物的浓度 C ；

确定分界面弥散带 Ld 和变形带 L p ，在平 均渗透锋面距离上加上这两个带就可确定污染 水实际锋面的运移位置：
L L 0.5( Ld L p ) Ld Dt / n
有限差分法
有限单元法
边界元法
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一、 有限差分法

有限差分法的基本思路是按照时间步长和空间步
长将时间和空间区域剖分成若干网格，用未知函
数在网格节点上的值所构成的差分商近似代替所
用偏微分方程中出现的各阶导数，从而把表示变
量连续变化关系的偏微分方程离散为有限个代数 方程，然后解此线性代数方程，以求出污染物浓 度在各网格节点上不同时刻的解。
d2 f f ( x x) 2 f ( x) f ( x x) 2 dx x 2
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导数的差分近似

若把上述一元函数f(x)换为浓度函数，并按网格
节点编号，则对x的一阶向前、向后和中心差分
分别为：
C C c |( i , j , k , n ) x x n n C C c i , j ,k i 1, j , k |( i , j , k , n ) x x n n C C c i 1, j , k i 1, j , k |( i , j , k , n ) x 2x
前面介绍了一些解析解公式，但应用起来仍十 分复杂，不便于实际应用。

实际中可以进一步简化：

完全忽略弥散作用，将污染地下水的运动视为“活 塞式”的推挤淡水的运动，假设两者始终保持明显 的铅直分界面； 将地下水动力运移和弥散分开考虑，先以上述方法

计算，然后计算由于弥散所形成的过渡混合带，修
正按平均锋面运移的距离。
2 2 3 3
10 10
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导数的差分近似

如果把f(x)对x的负向展开为泰勒级数： df x 2 d 2 f x 3 d 3 f f ( x x) f ( x) x 2 3 dx 2! dx 3! dx df f ( x) f ( x x) O(x) dx x
共81页2 预测防治地下水污染的措施的效果等。 22


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第一节 概述

预测评价的基本步骤如下： 建立预测模型； 模型识别（平衡性、稳定性、敏感性）； 模型参数估计； 模型方程的验证； 地下水污染预测。
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第二节 近似解析解

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导数的差分近似

设f(x)为任一足够光滑的函数，把f(x)沿x的正向
展开为泰勒级数：

df x d f x d f f ( x x) f ( x) x 2 3 dx 2! dx 3! dx df f ( x x) f ( x) R(x) dx x df f ( x x) f ( x) dx x 上式称为f(x)的一阶向前差分