例2.已知二次函数的图象的顶点为，且经过点
求该二次函数的函数关系式。
分析：由已知顶点为，故可设，再由点确定a的值即可
解：，则
•••图象过点，
即:
说明：如果题目已知二次函数图象的顶点坐标，一般设，
再根据其他条件确定a的值。本题虽然已知条件中已设，但 我们可以不用这种形式而另设这种形式。因为在这种形式 中，我们必须求a、b、c的值，而在这种形式中，在顶点已 知的条件下，只需确定一个字母a的值，显然这种形式更能 使我们快捷地求其函数关系式。
解：依题意：
由①得
由②得：
所求函数式为
即:
例7.已知某抛物线是由抛物线经过平移而得到的，且该
抛物线经过点A，B,求其函数关系式。
分析：设所求抛物线的函数关系式为，则由于它是抛物 线经过平移而得到的，故a=2,再由已知条件列出b、c的 二元一次方程组可解本题。
解：设所求抛物线的函数关系式为， 则由已知可得a=2, 又它经过点A,B
例3.已知二次函数图象的对称轴是， 且函数有最大析：依题意，可知顶点坐标为，因此，可设解析式为 顶点式
解：设这个二次函数的解析式为
•••图象经过，
• •
•••所求这个二次函数的解析式为
即:
说明：在题设的条件中，若涉及顶点坐标，或对称轴， 或函数的最大，可设顶点式为解析式。
例4.已知二次函数的图象如图1所示，则这个二次函数 的关系式是。
图1
分析：可根据题中图中的信息转化为一般式。
方法一：由图象可知：该二次函数过，，三点
设解析式为
根据题意得：
•所求二次函数的解析式为
方法二：由图象可知，该二次函数图象的顶点坐标为
设解析式为
•••图象过，•••，•••
•••所求二次函数的解析式为
故：解得：
•••所求抛物线的函数表达式为：
说明：本题的关键是由所求抛物线与抛物线的平移关 系，得到
例8.如图2,已知点A和点B,第三象限内有一点P,
它的横坐标为-2，并且满足条
图2
求证：△PAB是直角三角形。
求过P、A、B三点的抛物线的解析式，并求顶点坐标。
分析：中须证，由已知条件：
应过P作Pc丄x轴
即
方法三：由图象可知，该二次函数图象与x轴交于点，
设解析式为
•••图象过
• •
• • • •
•••所求二次函数解析式为：
即:
说明：依题意后两种方法比较简便。
例5.已知：抛物线在x轴上所截线段为4,顶点坐标为， 求这个函数的关系式
分析：由于抛物线是轴对称图形，设抛物线与x轴的两
个交点为，，则有对称轴，利用这个对称性很方便地求二次 函数的解析式
可设，又抛物线过点P可求a值
解法3:由A,B
可知抛物线的对称轴为
可设，将A、B点的坐标代入解析式可求a，的值
例9.如图3所示，是某市一条高速公路上的隧道口， 在 平面直角坐标系上的示意图，点A和A1，点B和B1分别关 于y轴对称，隧道拱部分BcB1为一段抛物线，最高点c离 路面AA1的距离为8米，点B离地面AA1的距离为6米，隧 道宽AA1为16米
难点：建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决 实际问题。
3.教学建议：
求二次函数的关系式，应恰当地选用二次函数关系式的 形式，选择恰当，解题简捷；选择不当，解题繁琐；解题时， 应根据题目特点，灵活选用。
典型例题
例1.已知某二次函数的图象经过点A，B，c三点，求其 函数关系式。
分析：设，其图象经过点c，可得，再由另外两点建立
图3
求隧道拱抛物线BcB1的函数表达式；
现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米， 车载大型设备的顶部与路面的距离均为7米，问它能否安全
中已知P、A、B三点的坐标，且根据点的位置可用三种 不同的方法求出抛物线的解析式
解：过P作Pc丄x轴于点c,
由已知易知Ac=2,Bc=8
••.,解得：Pc=4
••• P点的坐标为
由勾股定理可求得：
又
• •
故AAPB是直角三角形
解法1,可设过P、AB三点的抛物线的解析式为：
则有
• •
•••顶点坐标
解法2:由抛物线与x轴交于A,B,
二次函数解析式的确定教案
0.3二次函数解析式的确定
1.知识要点
若已知二次函数的图象上任意三点坐标，则用一般式求
解析式。
若已知二次函数图象的顶点坐标，则应用顶点式，其中 为顶点坐标。
若已知二次函数图象与x轴的两交点坐标，则应用交点 式，其中为抛物线与x轴交点的横坐标
2.重点、难点：
重点：求二次函数的函数关系式
解：•••顶点坐标为
对称轴是直线x=2
•••抛物线与x轴两交点之间距离为4
•••两交点坐标为，
设所求函数的解析式为
•••图象过点
•••所求函数的解析式为
例6.已知二次函数的最大值是零，求此函数的解析式。
分析：依题意，此函数图象的开口应向下，则有，且顶 点的纵坐标的值为零，则有：。以上两个条件都应满足，可 求的值。
关于的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可。
解：设所求二次函数的解析式为
因为图象过点c,「・
又因为图象经过点A,B,故可得到：
•••所求二次函数的解析式为
说明：当已知二次函数的图象经过三点时，可设其关系 式为，然后确定a、b、c的值即得，本题由c可先求出c的 值，这样由另两个点列出二元一次方程组，可使解题过程简 便。