教学过程一、复习预习我们逐步地学习了二次函数的特殊形式和一般形式的解析式以及图像和性质：1.二次函数基本形式：y =ax2 （b、c 为 0 时）的性质：2.y =ax2 +c 的性质：上加下减。

3.y=a(x-h)2 的性质：左加右减。

4.y=a(x-h)2 +k的性质：二次函数y =ax2 +bx +c今天学习二次函数图像的变换以及解析式的确定二、知识讲解考点1 二次函数图象的平移变换（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成y =a(x -h)2 +k 的形式，确定其顶点(h, k ) ，然后做出二次函数y =ax2 的图像，将抛物线y =ax2 平移，使其顶点平移到(h, k ) .具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”；“上加下减”。

2 考点 2 二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称y = ax 2 + bx + c 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 - bx - c ；y = a (x - h )2 + k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -a (x - h )2- k ； 2. 关于 y 轴对称y = ax 2 + bx + c 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = ax 2 - bx + c ；y = a (x - h )2 + k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = a (x + h )2+ k ； 3. 关于原点对称y = ax 2 + bx + c 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 + bx - c ；y = a (x - h )2 + k 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -a (x + h )2- k ； 4. 关于顶点对称= 2 + + 关于顶点对称后，得到的解析式是 = -2 - + - b ；y ax bx cy ax bx c 2a y = a (x - h )2 + k 关于顶点对称后，得到的解析式是 y = -a (x - h )2 + k ．5. 关于点(m ，n )对称y = a (x - h )2 + k 关于点(m ，n )对称后，得到的解析式是 y = -a (x + h - 2m )2+ 2n - k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．考点3 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．三、例题精析【例题1】【题干】抛物线 y=﹣2x2 经过平移到 y=﹣2x2﹣4x﹣5，平移方法是（）A．向左平移 1 个单位，再向上平移 3 各单位B．向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位C．向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位D．向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位【答案】B【解析】试题分析：把 y=﹣2x2﹣4x﹣5 转化为顶点式形式并写出顶点坐标，然后根据顶点的变化确定出平移方法是解题的关键．∵y=﹣2x2﹣4x﹣5=﹣2（x+1）2﹣3，∴y=﹣2x2﹣4x﹣5 的顶点坐标为（﹣1，﹣3），∴抛物线 y=﹣2x2 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位得到 y=﹣2x2﹣4x﹣5．故选 B．考点: 二次函数图象与几何变换.【例题2】【题干】如图，在平面直角坐标系中，抛物经过平移得到抛物，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【解析】试题分析：如图，过点 C 作CA⊥y，∵抛物线x2−2x=（x2-4x）=（x2-4x+4）-2=（x-2）2-2，∴顶点坐标为 C（2，-2），对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4，考点：二次函数图象与几何变换．【例题3】【题干】如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点，其中 A 点坐标为（－1，0），点 C （0，5），点 D（1，8）在抛物线上，M 为抛物线的顶点．求（1）抛物线的解析式；（2）求△MCB 的面积．【答案】（1）y=-x2+4x+5．（2）15．【解析】试题分析：（1）由 A、C、D 三点在抛物线上，根据待定系数可求出抛物线解析式；（2）把 BC 边上的高和边长求出来，就可以得出面积．（1）∵A（-1，0），C（0，5），D（1，8）三点在抛物线 y=ax2+bx+c 上，则有 0=a-b+c 5=c 8=a+b+c解方程得 a=-1，b=4，c=5 所以抛物线解析式为 y=-x2+4x+5．（2）∵y=-x2+4x+5=-（x-5）（x+1）=-（x-2）2+9∴M（2，9），B（5，0）即．由 B、C 两点坐标得直线 BC 的解析式为：l：x+y-5=0，则点 M 到直线 BC 的距离为，则×BC×d=15．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数图象与系数的关系；3．待定系数法求二次函数解析式【例题4】【题干】如图，抛物线x2 通过平移得到抛物线 m，抛物线 m 经过点 B（6，0）和 O（0，0），它的顶点为 A，以 O 为圆心，OA 为半径作圆，在第四象限内与抛物线x2 交于点 C，连接 AC，则图中阴影部分的面积为【答案】﹣12．【解析】试题分析：先求出抛物线 m 的解析式，得到顶点 A 的坐标，求出 OA 的长度，根据抛物线的对称性，可知阴影部分的面积=半圆的面积﹣△AOC的面积．试题解析：∵抛物线 m 经过点 B（6，0）和 O（0，0），∴抛物线 m 的对称轴为直线 x=3，∵抛物线x2 通过平移得到抛物线 m，∴设抛物线 m 的解析式为（x﹣3）2+k，将 O（0，0）代入，（0﹣3）2+k=0，解得 k=4，∴抛物线 m 的解析式为（x﹣3）2+4，顶点 A 的坐标为（3，4），由勾股定理，得 OA=5．连接 OA、OC，由圆的对称性或垂径定理，可知 C 的坐标为（3，﹣4），阴影部分的面积=半圆的面积﹣△AOC的面积•π•52﹣×8×3=﹣12．考点: 二次函数图象与几何变换．四、课堂运用【基础】1、在平面直角坐标系中，将抛物线 y=3x2 先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y=3（x+1）2+2 B．y=3（x+1）2﹣2C．y=3（x﹣1）2+2 D．y=3（x﹣1）2﹣2【答案】C【解析】试题分析：∵抛物线 y=3x2 的对称轴为直线 x=0，顶点坐标为（0，0），∴抛物线 y=3x2 向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到的抛物线的对称轴为直线 x=1，顶点坐标为（1，2），∴平移后抛物线的解析式为 y=3（x﹣1）2+2．故选 C．考点：二次函数图象的变换2、将函数变形为的形式，正确的是（）A．C．B．D．【答案】C.【解析】试题分析；故选 C.考点: 二次函数的三种形式.3、.在平面直角坐标系中，将抛物线 y=x2-x-6 向上（下）或向左（右）平移 m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值（）A．1 B．2 C．3 D．6【答案】B.【解析】试题分析：当 x=0 时，y=-6，故函数图象与 y 轴交于点 C（0，-6），当 y=0 时，x2-x-6=0，即（x+2）（x-3）=0，解得 x=-2 或 x=3，即 A（-2，0），B（3，0）；由图可知，函数图象至少向右平移 2 个单位恰好过原点，故|m|的最小值为 2．故选 B考点: 二次函数图象与几何变换．【巩固】1、已知二次函的图象经过点 A（2，－3），B（－1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）观察函数图象，要使该二次函数的图象轴只有一个交点，应把图象轴向上平移几个单位？【答案】(1) y=x2-2x-3；(2)4.【解析】试题分析：（1）把点 A、B 的坐标代入二次函数解析式求出 a、b 的值，即可得解；（2）先求出原二次函数图象的顶点点坐标，然后根据向上平移横坐标不变，纵坐标加解答．试题解析：（1）∵二次函数 y=ax2+bx-3 的图象经过点 A（2，-3），B（-1，0），∴，解，故二次函数解析式为 y=x2-2x-3；（2）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）故要使该二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，应把图象沿 y 轴向上平移 4 个单位. 考点: 1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数图象与几何变换.2、若二次函数【答案.【解析】试题分析：∵配方后为，则.，∴考点：配方法3、抛物关于 x 轴对称的抛物线的解析式是．【答案.【解析】试题分析：∵抛物的开口向上，顶点坐标为（0，），∴根据关于 x 轴对称的性质，抛物关于 x 轴对称的抛物线开口向下，顶点坐标为（0，1），∴抛物关于 x 轴对称的抛物线的解析式.考点：1.二次函数的性质；2.关于 x 轴对称的点的坐标特征【拔高】1、如图，已知抛物与 x 轴分别交于 O、A 两点，它的对称轴为直线 x=a，将抛物线向上平移 4 个单位长度得到抛物，则图中两条抛物线、对称轴与 y 轴所围成的图形（图中阴影部分）的面积为A．4 B．6 C．8 D．16【答案】C.【解析】试题分析：先求出 l1的顶点坐标，再根据平移的性质求出 l2的顶点坐标，C 的坐标，求出平行四边形 OFEC 的面积即可．在抛物线x2-2x 中，l1的顶点 F 的坐标为（2，-4），由于抛物线l1向上平移4 个单位长度得到抛物线l2，故 E 点坐标为（2，0），C 点坐标为（0，4）．故平行四边形 OFEC 的面积为4×2=8．故选 C.考点: 二次函数图象与几何变换．2、在平面直角坐标中，抛物经过点（0，），（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设关于原点的对称点，是抛物线对称轴上一动点，记抛物线，之间的部分为图（包，两点）．若直与图有公共点，结合函数图像，求纵坐的取值范围．【答案】(1)抛物线的表达式，对称轴(2)t 的取值范围是【解析】试题分析：（1）将所给的点的坐标代入就可求得解析式，利用对称轴公式就可以（2）先确定点 C 的坐标，当 D 点为抛物线的顶点时，此时 t 最小，当 D 为 BC 与对称轴的交点时，此时的 t 最大试题解析经过点 A（0，-2），B（3，4）．代入得：∴抛物线的表达式为对称轴(2)由题意可知 C（-3，-4）二次函数的最小值为-4由图象可以看出 D 点纵坐标最小值即为-4，最大值即 BC 与对称轴交点直线 BC 的解析式为当 X=1 时所以 t 的取值范围是考点：1、二次函数；2、中心对称；3、数形结合3、已知关于 x 一元二次方有两个不相等的实数根（1）求 k 取值范围；（2）当 k 最小的整数时，求抛物的顶点坐标以及它与 x 轴的交点坐标；（3）将（2）中求得的抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直有三个不同公共点时 m 值．【答案】（1）k＞-1；（2）（1，-4）；（-1，0），（3，0）；（3）画图见解析，1 或．【解析】试题分析：（1）根据一元二次方有两个不相等的实数根，可知根的判别式△＞0，即可求出 k 的取值范围.（2）根据 k 的取值范围可得当 k=0 时，为 k 最小的整数，进而可求出顶点坐标以及它与 x 轴的交点坐标.（3）由（2）画出此函数图象后，可发现，若直线与新函数有 3 个交点，可以有两种情况：①直线经过原二次函数与 x 轴的交点 A（即左边的交点），可将 A 点坐标代入直线的解析式中，即可求出 m 的值；②原二次函数图象 x 轴以下部分翻折后，所得部分图象仍是二次函数，该二次函数与原函数开口方向相反、对称轴相同、与x 轴的交点坐标相同，可据此判断出该函数的解析式，若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于 x 的一元二次方程，那么该方程的判别式△=0，根据这一条件可确定 m 的取值．试题解析：（1）由题意，，∴k＞-1，∴k 的取值范围为 k＞-1.（2）∵k＞-1，且 k 取最小的整数，∴k=0．∴.则抛物线的顶点坐标为（1，-4）.∵的图象与 x 轴相交，∴，∴解得：x=-1 或 3.∴抛物线与 x 轴相交于 A（-1，0），B（3，0）；（3）翻折后所得新图象如图所示．平移直线 y=x+m 知：直线位于 l1 和 l2 时，它与新图象有三个不同的公共点．①当直线位于 l1时，此时 l1过点 A（-1，0），∴0=-1+m，即 m=1．②当直线位于 l2时，此时 l2与函的图象有一个公共点，∴方程 x+m=-x2+2x+3，即 x2-x-3+m=0 有两个相等实根.∴△=1-4（m-3）=0，即．当 m= 时，x1=x2= 满足-1≤x≤3，由①②知 m=1 或．考点：1.抛物线与 x 轴的交点；2.二次函数图象与几何变换；3.一元二次方程根的判别式；4.分类思想的应用．课程小结二次函数图象的平移变换平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”；“上加下减”。