g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
设G( y)和F( x)分别为g( y) 和 f ( x) 的原函数,
G( y) F ( x) C 为微分方程的解.
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例 求解微分方程 y e2x y .
例 求微分方程 (1 y2 )dx x(1 x) ydy 0, y x1 0 的解.
dx 例 求解 y 1 tan2( x 2 y).
2 2 有时可令 y = v，检查 应取何值可使 方程化为齐次 例 求方程 ( x2 y2 1)dy 2xy3dx 0的解.
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3 形如 dy f ( ax by c )的微分方程
dx
a1 x b1 y c1
f
(
z z

c c1
).
可分离变量.
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例 求 dy x y 1 的通解. dx x y 3
例 求解微分方程 ( x 2sin y 3)dx (2x 4sin y 3)cos ydy 0
例
求解微分方程
y
2 3
x3 x2
3xy2 y 2y3
e

y x
dx
的通解。
例 求解微分方程
( x y cos y)dx x cos y dy 0.
x
x
例
求解微分方程
x2
dx xy
y2

dy 2y2
. xy
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三、可化为齐次或可分离变量的方程 1 经过适当的变量代换 例 求 dy ( x y)2的通解.
线性的;
yy 2xy 3, y cos y 1, 非线性的.
河程
dy P( x) y 0. dx
(使用分离变量法)
dy P( x)dx, y

dy y


P(
x
)dx,
ln y P( x)dx ln C1,
例 求方程 f ( xy) ydx g( xy)xdy 0 通解.
x
x
例 解方程 x y(t)dt ( x 1) ty(t)dt 2x,( x 1).
1
1
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二、齐次方程
1.定义
形如 dy f ( y)的微分方程称为齐次方程.
2.解法
dx x 作变量代换 u
一、可分离变量的微分方程
一阶常微分方程为: F( x, y, y) 0
其拟线性形式 :
若y f ( x)h( y),
例如
dy

2x2
4
y5
y f ( x, y)
或f ( x)dx g( y)dy

4
y 5dy

2 x 2dx,
可分离变量 的微分方程
dx
解法
设函数g( y)和 f (x)是连续的,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y e P( x)dx [ Q( x)e P( x)dxdx C ]
Ce P( x)dx e P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx
作变换 y u( x)e P( x)dx
y u( x)e P( x)dx u( x)[ P( x)]e P( x)dx ,
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将y和y代入原方程得u( x)e P( x)dx Q( x),
积分得 u( x) Q( x)e P( x)dxdx C,

7 8
x y
.
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四、线性方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y Q( x)
()
dx
当Q( x) 0, ()称为一阶齐次线性微分方程.
当Q( x) 0, ()称为一阶非齐次线性微分方程.
例如 dy y x2 , dx
dx x sin t t 2 , dt

y
,
即
y

xu,
dy

u
x
du
,
x
代入原式
u
x du

f (u),
dx
dx
dx
即 du f (u) u .
dx
x
可分离变量的方程
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du f (u) u .
当
dx f (u)
u
x
0时,
得

f
du (u)
u

ln C1x ,
即
x
Ce(u) ,（(u)
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx . (C C1)
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2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x).
常数变易法:
dx
把齐次通解中的常数变易为待定函数的方法.
实质: 未知函数的变量代换. ( y Ce P( x)dx )
新未知函数 u( x) 原未知函数 y( x),
当c c1 0时, 为齐次方程.否则为非齐次方程.
令x X h, （其中h和k是待定的常数）
y Y k， dx dX , dy dY
dY f ( aX bY ah bk c )
dX
a1X b1Y a1h b1k c1
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ah bk c 0, a1h b1k c1 0,
a (1)
b 0, 有唯一一组解.
a1 b1
dY dX

f ( aX bY ) a1 X b1Y
得通解代回
YX

x h, y k，
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(2) 0, 未必有解, 上述方法不能用.

du ） f (u) u
将 u y 代入,
得通解
x

(
Ce
y)
x,
x
当 u0 , 使 f (u0 ) u0 0, 则 u u0是新方程的解,
代回原方程, 得齐次方程的解 y u0 x.
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例
求解微分方程 xydy y2dx ( x
y
)2
令 a1 b1 ,方程可化为 dy f ( ax by c ),
ab
dx (ax by) c1
dy f ( ax by c ),令 z ax by,则 dz a b dy，
dx (ax by) c1
dx
dx
1 ( dz b dx
a)