课本例外补充习题 (第一章)1. 下列个数都是对真值进行四舍五入法后得到的近似值,试分别写出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数?2. 2.为了使11 的近似值的相对误差%1.0≤ , 问至少应取几位有效数字?3. 3.如果利用四位函数表计算ο2cos 1- 试用不同方法计算并比较结果的误差.4.求方程01402=+-x x 的两个根 . 使他们至少具有四位有效数字.( 已知975.19399≈ )5、设0>x , *x 的相对误差为δ求x ln 的误差。

6、下列个数都是经四舍五入法得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位。

摄指出他们是几位有效数字。

解：(1)*1x =1.1021 是五位有效数字 (2) *2x =0.031 (2位) (3) *3x =385.6 (4位) (4) *4x =56.430 (5位)(5)*5x =7*1.0 (2位) .7、 求下 列各近似值得误差限 .(.1)*3*2*1x x x ++ , (.1.1)*3*2*1xx x ， (.1.1.1) *4*2x x , 其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第6题 所给的数 .8、计算球体积要使相对误差限为 1% , 问度量半径R 是允许的相对误差限是多少?、9、设221gt s =假定g 是准确的 , 而对t 的测量有1.0±秒的误差 , 证明 当t 增加时s 的绝对误差增加 , 而相对误差却减少.10、)1ln()(2--=x x x f 求)30(f 的值 , 若开平方用六位函数表问求对数时误差有多大?若改用另一个等价公式)1ln()1ln(22-+-=--x x x x 计算 ,求对数时误差由多大?课本例外补充习题 (第一章)答案4. 下列个数都是对真值进行四舍五入法后得到的近似值,试分别写出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数?2.为了使11 的近似值的相对误差%1.0≤ , 问至少应取几位有效数字?解:3166.311≈ , 31=∴a , %1.010**21|)(|11*≤≤∴+-n r a x ε⇒ 10006101≤+-n⇒ (-n+1)lg10≤lg6-lg1000= -n+1≤ 0.77815 –3⇒-n+1≤-2.2218 ⇒n ≥3.2218 .∴n=4 . 说明应取4位有效数时相对误差限≤0.1% .3.如果利用四位函数表计算ο2cos 1- 试用不同方法计算并比较结果的误差.解: 用四位函数表值接计算0006.09994.012cos 1=-≈-ο, 只有1位有效数字.42210*092.69994.1)03490.0(2cos 12sin 2cos 1-≈≈+=-οοο只有4位有效数字.4210*09.61sin 22cos 1-≈=-οο , 只有3位有效数字.准确值 410*0917.62cos 1-=-ο , 故以上3种算法误差限分别为44410*002.0,10*0003.0,10*1.0--- .4.求方程01402=+-x x 的两个根 . 使他们至少具有四位有效数字.( 已知 975.19399≈ )解: 975.393992021400240241600401=+=-+=-+=x Θ975.1920*1+=x , 由伟大定理211x x = ,)1*(21=x x , 故0250151.0975.3912==x , 02500.0975.19203992021400240*22=-=⇒-=--=x x Θ00005.010*2100001565.0|975.19974984.19||975.19399||||)(|4*111=≤=-=-=-=-x x x εΘ4*22210*21|975.19399||||)(|-≤-=-=x x x ε 可见 21,x x 有四位有效数字. 5、设0>x , *x 的相对误差为δ求x ln 的误差。

解：求xln 的误差限就是求xx f ln )(= 的误差限。

由公式)(|)(|)(***x x f x f δδ'≈ 有)(|)(|m ax|)()(|)(*)(||****x x f x f x f x f x x x δδδ'≤-=≤-已知 *x 的相对误差限δ满足|*||*|x x x -δ≤<1而x x f ln )(= , xx f 1)(=' , ||)(||***x x x x δδ=≤- ,故)(|||||||1|max |ln ln |*****)(|*|*x x x x x x x x x x x x δδ--≤-≤-≤- 即δδδδ-≤--=111|*||*|)(ln *x x x x 。

6‘-为了减少运算次数，应将表达式.543242161718141311681x x x x x x x x -+---++-改写为；答案：()()()()()()()1816011314181716-+++---+-x x x x x x x x x6、下列个数都是经四舍五入法得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位。

摄指出他们是几位有效数字。

解：(1)*1x =1.1021 是五位有效数字。

(2) *2x =0.031 (2位) (3)*3x =385.6 (4位) (4) *4x =56.430 (5位) (5)*5x =7*1.0 (2位) .7、 求下 列各近似值得误差限 .(.1)*3*2*1x x x ++ , (.1.1)*3*2*1xx x ， (.1.1.1) *4*2x x , 其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第6题 所给的数 . 解: (.1)*3*2*1x x x ++ 用 7p 公式=±)(*2*1x x ε±)(*1x ε)(*2x ε∴)()()()(*4*2*1*4*2*1x x x x x x εεεε++=++有绝对误差限公式1*110*21||+-≤-n m x x3344.10*05.110*2110*2110*21)1(----=++≤∴ [])(||||)(||)(||||)(||||)(||)()11(*3*2*1*2*2*1*1*3*3*2*1*2*1*3*3*2*1..x x x x x x x x x x x x x x x x x εεεεεε++=+=Θ215.010*21*031.0*1021.1)10*21*031.010*21*1021.1(*6.385134=++=---)111(...*4*2xx 解2332*4*4*4*2*2*4*2)430.56(10*21*430.5610*21*031.0||)(||)(||)(--+≤+≈x x x x x x x εεε=8.87*610-.8、计算球体积要使相对误差限为 1% , 问度量半径R 是允许的相对误差限是多少?、解: 已知%1=v dv , 由334r v π= %13343*3432==∴dr rdr r r ππ%33.0%31==∴r dr 9、设221gt s =假定g 是准确的 , 而对t 的测量有1.0±秒的误差 , 证明当t 增加时s 的绝对误差增加 , 而相对误差却减少.解:1.0)(*=t ε221gt s =Θ ,gt ts=∂∂ ,221t g s =∂∂ ,0)(*=g ε*1******101.0*|)()(|)(|)(|)(gt gt g gst t s s -==∂∂+∂∂=εεε*2**1***1)(2110||)()(st t g gt s s s r ===-εε , 由*1*10)(gt s -=ε , 已知**1)(st s r =ε当 t 增加时 s 的绝对误差)(*s ε增加 , 而 )(*s r ε减少.10、)1ln()(2--=x x x f 求)30(f 的值 , 若开平方用六位函数表问求对数时误差有多大?若改用另一个等价公式)1ln()1ln(22-+-=--x x x x 计算 ,求对数时误差由多大?分析: 由于)1ln()(2--=x x x f , 求)(x f 的值应看成复合函数先令12--=x x y , 由于开平方用六位函数表则y的误差为已知故应看成yy f z ln )(==-, 由y 的误差限|*|y y - 求)(y f -的误差限|ln ln |)(**y y z -=δ .解: 当 30=x 时求 130302--=y 用六位开平方表得 0167.09833.2930*=-=y 故4*10*21||-≤-y y 由 y y f z ln )(==-得yy f 1)(='-故)(1***y y yz z -≈- , 于是24****10*3.010*0167.05.0||||||)(--≤≈-≈-=y y y z z z δ , 若改用公式)1ln()(2-+-=x x x f 则 先令12-+=x x y 此时 y y f z ln )(-==-则9833.5989930*=+=y 因此4*10*21||-≤-y y ,)(1***y y yz z --≈- 于是64***10*834.010*9833.595.0|||||*|)(--≤≈-≈-=y y y z z z δ 可见改用公式时误差比前面的误差小得多. 第一章1、345x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求G-矩阵T 使得1||Tx x e =解：12125(,)3/5,4/5,05T c s c s T x ⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭中 ) ,1312131(,)1/2,2,520||0T c s c s T T x x e ==⎛ == ⎪ ⎪⎝⎭中1213T T T =。