第三单元因数与倍数一、因数与倍数如果整数a（a丸）和整数b（b丸）相乘得到的整数c,那么a,b是c的因数（因数又叫约数）；c 是a,b的倍数。

例1:2 X9=18可以说：2是18的因数，18是2的倍数；9是18的因数，18是9的倍数。

注：1、因数与倍数是两个数之间的相互关系，是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数。

所以不能单独说2是因数，18是倍数。

2、研究因数与倍数时，所说的数一般指不是0的自然数。

练习：（1）说出下面哪个数是因数，哪个数是倍数。

3 X7=214>8=3213 >9=117(2) 7 X8=56 ,( )和( ）是（）的因数;（）是（）和（）的倍数。

判断：7和8是因数，56是倍数。

（）（3）判断：a xb=c,整数a、b、c和，那么a,b是因数；c是倍数。

（）二、找一个数的因数方法：列乘法算式使积就是这个数，两个乘数就是这个数的因数，为了做到不重复、不遗漏,可以从1开始列起。

成对记录比较简便。

例题：30 的因数有：1,30,2,15,3,10,5,6.注：一个数最小的因数是 1 ;最大的因数是它本身；一个数因数的个数是有限的。

练习：（1）找出下列各数的因数：72 42 25 63（2）32的因数有：（）,最小的因数是（）,最大的因数是（）。

三、找一个数的倍数方法：用这个数分别去乘1,2,3……所得的积就是这个数的倍数。

例题：4的倍数有：4,8,12,16,20,24 （若无限制条件，一定要加省略号）注：一个数最小的倍数是它本身；没有最大的倍数；一个数倍数的个数是无限的。

一个数的本身既是它的最大的因数，又是它的最小的倍数。

练习: （1）找出下列个数的倍数：7 11 5 62的倍数中，最小的一位数是（）；最小的两位数是（写出既是8的倍数，又是72的因数:一个数倍数的个数是（），最小的倍数是（一个数最小的因数是（），最大的因数是（一个数的因数和倍数都是9，这个数是（一个数最大的因数和最小的倍数和是16，这个数是多少？写出这个数的倍数。

妈妈买回30个苹果，他把苹果放入蓝子中让小明拿，约定既不许一次那完，也不许一个一个地拿，且每次拿的个数相同，拿到最后正好一个不剩。

小明共有几种拿法？每种拿法每次各拿几个?小明将40颗棋子装入盒中，然后从中拿棋子，不许一次那完，且每次拿的个数相同，拿到最后正好一个不剩。

有几种拿法？每次各拿几个?（8）判断：一个数的因数一定比它的倍数小。

A XB=C（A,B,C均为自然数），则A是C的因数，C是B的倍数。

（）任何数最小的因数都是 1.（一个数的因数和倍数都有无限个。

※培优：爸爸今年40岁，小明和爷爷的年龄分别是爸爸年龄的因数和倍数，并且爷爷的年龄是小明年龄的10倍，小明和爷爷今年各多少岁？四、5和2的倍数的特征1、5的倍数的特征：个位上是5或0。

2、2的倍数的特征：个位上是2、4、6、8或0.既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上是0.3、自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。

也可以说个位是2/4/6/8/0的数是偶数，个位是1/3/5/7/9的数是奇数。

4、偶数与奇数的个数都是无限的，没有最大的偶数或奇数。

最小的偶数是0，最小的奇数是1。

练习：（1）23 □中，□里填（）既是2的倍数，又是5的倍数。

（2）1/3/25/39/48/50/329/1320 中奇数有（），偶数有（），2 的倍数有（），5的倍数有（），既是2的倍数又是5的倍数有（）。

（3）30以内5的倍数有（）。

（4）五个连续奇数的和是75，这5个数分别是（）；三个连续偶数的和是72，这三个偶数分别是（）。

五、3的倍数的特征1、3的倍数，它各位上数的和一定是3的倍数。

如果一个数不是3的倍数，那么，它各位上数的和也不是3的倍数。

练习：（1）1，4,9,18,36,45,89,100 中，偶数是（）；奇数是（）；2的倍数是（）；5的倍数是（）；3的倍数是（）；既是2的倍数又是5的倍数是（）；既是2的倍数又是3的倍数是（）；既是3的倍数又是5的倍数是（）。

（2）3的倍数中，最大的一位数是（）,最小的两位数是（）;1000以内最大的3的倍数是（）；35加上（）或减去（）是3的倍数。

（3）一个三位数同时是2,3,和5的倍数，这个三位数最小是（），最大是（）；能被2、3、5除都余1的最小自然数是（）；在1 —100中，同时是2,3,5的倍数有（）。

（4 ）按要求在□里填上合适的数字。

既是2的倍数又是5的倍数：5□，13 □，24□既是2的倍数又是3的倍数：35 □, 7H,"CD，7□既是3的倍数又是5的倍数：18 □, 1厘,2 □}, 4□口既是2和5的倍数又是3的倍数：4口口,2 □）,04口（5 ）用0,4,3,2四个数，按要求组成一个两位数。

组成的数是2的倍数：组成的数既是2的倍数，又是5的倍数：组成的数既是2的倍数，又是3的倍数：（6）桌子上放着7个茶杯，全部底朝上。

每次翻转2个，经过多少次杯口全部朝上?（7）有36个苹果，把它放在13个盘子里，每个盘子里只能放奇数个, 这件事你能办到吗? （8）判断:自然数中，不是奇数就是偶数。

（）个位上是0/3/6/9的数- -定是3的倍数。

（）所有的自然数都是整数。

（）解析：错。

整数包含正整数、负整数和0;而自然数只有0和正整数。

用2,1,3组成的三位数— -定是3的倍数。

（）偶数是2 的倍数，奇数是3 的倍数。

( )培优：1、在□重填上合适的数，使它是9的倍数。

(1 )67 □(2) 4 □□( 3)口为82、一盒羽毛球，5个5个的取，最后剩下1 个；3个3个的取，最后剩下1 个；2个2个地取，最后还是剩下1 个。

这盒羽毛球最少有多少个？六、质数与合数1 、一个数只有1 和它本身两个因数，像这样的数叫作质数(或素数) 。

(只有2个因数)2、一个数除了1 和它本身还有别的因数，像这样的数叫作合数。

(有2 个以上的因数)3、1 既不是质数也不是合数。

( 1 的因数只有一个) 注意：质数与合数的个数都是无限的，没有最大的质数或合数。

练习：最小的质数是2，最小的合数是4。

2 是唯一一个既是偶数又是质数的数。

自然数( 0 除外)可以分成质数、合数和1.( 1 )判断：2 既不是素数，又不是合数。

( )9 是奇数也是素数。

( )一个自然数( 0 除外)，如果不是素数就是合数。

( )2 )最小的自然数是( )，最小的素数是( )，最小的合数是( )，最小的奇数是( )。

10 以内的素数有( )，合数有( )。

20 以内既是合数又是奇数的数有( )。

50 以内最大的质数与最小的合数乘积是( )。

有两个数都是质数，这两个数的和是8,两个数的积是15，这两个数是（）和（）。

既不是质数，又不是偶数的最小自然数是（）；既是质数，又是偶数的最小自然数是（）;既是奇数，又是质数的最小自然数是（）；既是偶数，又是合数的最小自然数是（）。

既是奇数又是合数的最小自然数是（）。

一个四位数，千位上既不是质数也不是合数，百位上是最小的合数，十位上是最小的质数，个位上既是奇数又是合数，这个数是（）。

一个合数至少有（）个因数。

一个三位数既有因数2，又是5的倍数，百位上是最小的质数，十位上是最大的一位奇数，这个数是（）。

（3）在括号里填上合适的素数（质数）。

8= （）+ （）9= （）+ （）12= ( ) + ( )15= （）+ （）18= （）+ （）24= ( ) + ( )七、质因数与分解质因数1、如果一个数的因数是质数, 这个因数就是它的质因数。

* 1没有质因子。

* 5只有1个质因子，5本身。

（5是质数。

）* 6的质因子是2和3。

(6 = 2 X 3)* 2、4、8 16等只有1个质因子：2（2是质数， 4 = 2 , 8 = 2，如此类推。

）* 10有2个质因子： 2 和5。

(10 = 2 X 5)2、把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。

方法：短除法或塔形分解法。

练习：（1）先找出下面的合数，再把它们分解质因数。

(3 )两个质数的和是22，积是85，这两个质数是( )和( )。

(4)一个三位数，它的个位上是最小的质数，十位上是最小的合数，百位上是最小的奇数,这个三位数是( )，它同时是质数( )和( )的倍数。

八、公因数与最大公因数几个数公有的因数叫作这几个数的公因数。

方法：找出小数的因数，在小数的因数中筛选大数的因数。

例1 :找出下面每组数的最大公因数。

6和15 8和16 1和20 30和6 8和9 9和25.注意：1、公因数的个数是有限的。

2、几个数的公因数中最大的一个，叫作这几个数的最大公因数。

最大公因数只有1个。

3、不同的两个数至少有1个公因数1。

4、用短除法可以找出最大公因数，共有的质因数的积就是最大公因数。

练习：(1) 25和40的因数，公因数分别填在下面的圈里。

(2 )在每个分数后面的括号中写上分子、分母的最大公因数。

25和40的公因数11 20 36 49 53 72(2)下面的式子，( )是分解质因数。

A、54=2 X3 X9B、42=2 X3 XC、15=3 X5 X1D、20=4 X525的因数40的因数例2、找出每组数的最大公因数。

A : 5 和 15 8 和 16 10 和 20 3 和 9发现： __________B 、9 和 7 1 和 7 11 和 12 3 和 11发现：互质关系，最大公因数是 1•反之，最大公因数是 1，这两个数就互质。

当两个数的公因数或最大公因数是 1时，我们就说这两个数互质。

练习：（1）写出下面每组数的最大公因数。

12 和 24（ ）； 18 和 19（ ）； 5 和 17（ ）； 14 和 42（ ）； 8 和 9（ ）；11 和 4 （）; 12 和 6（ ）； 6 和 8（ ）； 13 和 39（（2） —个数既是12的因数又是18的因数，这个数最大是（）。

4A=B （A 、B 和）,A 和B 的最大公因数是（）。

如果a=2 X 3 X5, b=2 X 3 X7，那么a 和b 的最大公因数是（））（3）判断：两个合数的最大公因数不可能是 1.（ ）两个数的公因数一定比这两个数小。

（ ）3和4没有公因数。

（ ）A 是B 的倍数，那么A 、B 的最大公因数是A 。

（）两个数的公因数一定是这两个数的因数。

（）例3、（1）王先生准备将家里的贮藏室铺上地板。

贮藏室长 用整块的地砖，可以选择边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？在一张长40厘米，宽32厘米的长方形铁皮上剪同样大小且面积最大的正方形，不能 有剩余，剪出的正方形边长是多少厘米？在一间长6米、宽4米的教室里铺同样大小的正方形地板，已知市场上有边长6分米 和 5 分米的正方形地砖，选哪种型号比较合适？为什么？）；35 和 7（ ）。